Замечание. Можно поступить иначе. Чтобы вычислить ,вычислим сначала , используя правила 11 или 12. Тогда из полученного результата последует ответ .
Правило 11. Если функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки , то . Т.е.предел отношения двух функций, стремящихся одновременно к нулю или к бесконечности, равен пределу отношения их производных(если последний существует).
Вывод. Если формула содержит операции сложения и вычитания, применять эквивалентность следует только тогда, когда вы можете четко обосновать свои действия. Категорически запрещается заменять разность эквивалентных функций тождественным нулем!
3) 4) (2)
1) 2)
5) 6)
Пример 23.Вычислим .
Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем - неопределенность и, так как данное выражение содержит тригонометрическую функцию, воспользуемся правилом 4 и выделим первый замечательный предел. Но в данном пределе аргумент синуса не является нужной величиной ,т.к. . Значит, пока выделить первый замечательный предел мы не можем. Введем новую переменную такую, чтобы она стремилась к нулю.
,
(была использована одна из формул Т3).
К новому выражению можно применить правило 4 при .
И окончательно получим .
Ответ. .
Задачи для самостоятельной работы
Вычислите следующие пределы.
7) , 8) , 9) ,
10) , 11) , 12) .
Замечание. В задачах 8 – 11 необходима новая переменная
Ответы. 7) ,8) ,9) ,10) ,11) , 12) .
3.6 Второй замечательный предел
До сих пор остались не разобранными примеры, содержащие показательные функции, логарифмы, а также пределы вида.Следующее правило (без номера) описывает простейшие ситуации такого типа, не содержащие неопределенностей.
Если и , то .
Запомните, что при выражения вида и не содержат неопределенности.
Пример 24.Вычислим .
Решение.
Полученный результат не содержит неопределенности и дает ответ на вопрос.
Ответ. .
В рассматриваемом случае могут появиться неопределенности типа В данном разделе будет рассмотрена неопределенность только одного типа Остальные требуют использования производных и будут разобраны в главе 7.
Правило 5. (Для сложно-показательных функций)
Если то для избавления от неопределенности необходимо свести задачу к вычислению второго замечательного предела, а именно
(3а)
или
,где. (3б)
Легко заметить, что формула (3б) сводится к формуле (3а) заменой . Менее заметно различие между формулой (3а) и определением числа е в п. 1.3. Это различие – не просто в букве, обозначающей аргумент. Дело в том, что х может быть вещественным числом любого знака[4], a n – только натуральным числом.
Вообще говоря, если некоторое свойство выполняется для вещественных чисел, то оно верно и для чисел натуральных. А вот обратное справедливо далеко не всегда. Вывод формулы (3а) из определения числа е – трудная теорема.
Пример 25.Вычислим .
Решение. .
Получили комбинированную неопределенность. Избавимся сначала, используя правило 1, от неопределенности .
.
Преобразованное выражение при подстановке дает неопределенность , от которой можно избавиться, построив второй замечательный предел (См. (3б)).
Сравнив наш предел с (3), видим, что роль играет .
И тогда .
Ответ. .
Замечание. Рассмотренный в примере 25 предел позволяет сделать следующий вывод (следствие второго замечательного предела):
. (4)
Формула (4) останется справедливой, если заменить предел функции пределом последовательности.
Пример 26.Вычислим .
Решение. Подставим в функцию :
.
Получили неопределенность, от которой можно избавиться, применив правило 5, т.е. выделив второй замечательный предел. Чтобы выяснить, что в данном примере играет роль , преобразуем его следующим образом.
.
Теперь ясно, что при . Продолжим построение с полученным .
.
Ответ. .
Пример 27.Вычислим .
Решение. . Воспользуемся правилом 1, чтобы избавиться от неопределенности .
.
Далее применяем правило5.
Заметим, что при числитель и знаменатель похожи на следствие второго замечательного предела (4). Исходя из этого, вынесем в числителе и знаменателе за скобку тройку и получим
.
Ответ. .
Пример 28.Вычислите самостоятельно, отвечая последовательно на вопросы.
Решение. 1) Что получается при непосредственной подстановке , ответ или неопределенность? (неопределенность типа )
2) Какое правило можно применить, чтобы избавиться от этой неопределенности? (правило5)
3) Преобразуйте данное выражение так, чтобы в основании сложно-показательной функции выделилось выражение . Что играет роль ? ( )
4) Постройте второй замечательный предел. Как выглядит выражение после применения этого предела? ( )
5) Рассмотрите отдельно . Что получается при непосредственной подстановке , ответ или неопределенность, и какое правило можно применить, чтобы избавиться от этой неопределенности?
((неопределенность типа , правило 4)
6) Что необходимо предпринять, чтобы в новом пределе выделить первый замечательный предел?
(замену переменной )
7) Как будет выглядеть предел после выбранного преобразования и что получится после подстановки ?
( )
8) Что можно сделать для избавления от получившейся неопределенности? (удобнее всего воспользоваться следствием первого замечательного предела, (см.(2)), а именно при )
9) Преобразуйте необходимым образом выражение, вычислите и дайте окончательный ответ.
( )
Ответ. .
Задачи для самостоятельной работы
Вычислите следующие пределы.
13) , 14) , 15) ,
16) , 17) .
Ответы. 13) , 14) , 15) , 16) , 17) .
Помимо формулы (4), существуют и другие следствия второго замечательного предела. Они будут выведены в следующих двух примерах. Предварительно заметим, что если существует , то в силу непрерывности логарифма (теоремы 2 и 3).
Пример 29.Вычислим .
Решение. Подставим в функцию
.
Получили неопределенность, от которой нельзя избавиться известными нам способами из-за наличия в выражении логарифмической функции. Преобразуем данную функцию, используя свойство логарифмов .
.
Получили выражение, содержащее второй замечательный предел. (см.3б).
Теперь .
Ответ. .
Замечание. Обобщая результат примера 29, в котором был использован второй замечательный предел, и учитывая еще одно свойство логарифмов , получаем следствия второго замечательного предела:
.
. (5)
Пример 30.Вычислим .
Решение. Подставим в функцию
.
Получили неопределенность, от которой нельзя избавиться известными нам способами из-за наличия в выражении показательной функции. Преобразуем выражение так, чтобы появилась возможность использовать какой-либо из уже разобранных приемов. Для этого заменим числитель новой переменной .
.
Появилась возможность применить одно из следствий второго замечательного предела (см.5).
.
Ответ. .
Замечание.Получили результат, который тоже является следствием второго замечательного предела:
. (6)
Пример 31.Вычислим .
Решение. Подставим в функцию
.
Преобразуем данное выражение, используя свойства показательной и логарифмической функций, и воспользуемся известными пределами (5) и (6).
Теперь в числителе можно построить предел (6) при , а в знаменателе предел (5) при .
.
Ответ. .
Задачи для самостоятельной работы
Вычислите следующие пределы.
18) , 19) , 20)
21) , 22) .
Ответы. 18) , 19) , 20) , 21) , 22) .
Глава 4. Односторонние пределы функции
Кроме ранее рассмотренных вариантов поведения функции при возможны и другие.
4.1 Односторонние пределы функции при стремлении аргумента к бесконечно удаленной точке
Функция может вести себя различным образом в зависимости от того,стремится ли аргумент к бесконечно удаленной точке или . Например, известная функция такова, что
Рис.14
Рассмотрим один из возможных вариантов поведения функции при стремлении аргумента к бесконечно удаленной точке и, используя результаты, полученные в части 2.3, сформулируем соответствующее определение.
Пусть при существует . Рассмотрим геометрическую интерпретацию, взяв правую часть рисунка.
Рис.15
Определение 5 остается в силе, но только для достаточно больших положительных значений переменной .Откуда следует, что , т.к. .
Определение 8.Число называется пределом функции при ,т.е.,если для любого найдется , такое что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .
Или в символах:
· ∀ε>0 ∃δ>0: x>δ ⇒ |f(x)-A|<ε.
· ∀ε>0 ∃δ>0: x∈Ůδ(+∞) ⇒ f(x)∈Uε(A).
Рассмотрим теперь другой вариант. Пусть предел функции равен числу А при ,
Рис.16
Определение 9. Предел функции равен числу А при ,т.е. , если для любого найдется , такое что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .
Или в символах.
· ∀ε>0 ∃δ>0: x<-δ ⇒ |f(x)-A|<ε.
· ∀ε>0 ∃δ>0: x∈Ůδ(-∞) ⇒ f(x)∈Uε(A).
4.2 Определение односторонних пределов функции при
Рассмотрим поведение функции около точки , иллюстрация которого приведена на рис. 17.
Число , к которому стремится значение функции при приближении точки к , слева, называется левосторонним пределом этой функции, а число - ее правосторонним пределом.
Рис. 17
Чтобы четко сформулировать определения этих пределов, возьмем за основу определение 4 и отметим, что при и при .
Определение 10.Число называется левосторонним пределом функции при , если для любого найдется , такое что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .
Символическая запись:
∀ε>0 ∃δ>0: а-δ<x<a ⇒ |f(x)-A|<ε.
Определение 11.Число называется правосторонним пределом функции при , если для любого найдется , такое что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .
Символическая запись:
∀ε>0 ∃δ>0: а<x<a+δ ⇒ |f(x)-A|<ε.
Пример 32.Постройте графическую иллюстрацию для и сформулируйте определение этого предела, отвечая последовательно на поставленные вопросы.
Решение. 1) Какой из приведенных в пособии рисунков ближе всего к требуемому? (Рис.12)
2) Как преобразовать исходный рисунок, чтобы получить требуемый? (Стереть часть рисунка справа от прямой х=а. Отразить то, что останется, относительно оси ОХ.)
3) По аналогии с каким из основных определений главы 2 можно дать определение для заданного в условии предела? (Определение 6)
4) Чему в данном случае будет равен ? ( )
5) Чему в данном случае будет равен ?
( , т.к. )
6) Сформулируйте определение и запишите его в символах.
( ∀ε>0 ∃δ>0: а-δ<x<a ⇒ f(x)<-ε.).
Вычисление односторонних пределов уже встретилось нам в примере 14. Приведем еще несколько примеров.
Пример 33.Вычислим пределы функции при и
Решение. Отметим, что .
Поэтому ,
.
Ответ. , .
Пример 34.Вычислим односторонние пределы функции при .
Решение. Отметим, что .
И тогда , (см.(2)).
.
Ответ. , .
Заметим, что в этих примерах двусторонних пределов нет.
Теорема 5(о связи односторонних пределов с двусторонним)
Двусторонний предел существует тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела, и они равны друг другу.
Задачи для самостоятельной работы
Дайте определения следующих пределов функции.
1) . Ответ: ∀ε>0 ∃δ(ε)>0: а-δ<x<a ⇒ f(x)>ε
2) . Ответ: ∀ε>0 ∃δ(ε)>0: а<x<a+δ ⇒ f(x)<-ε
3) . Ответ: ∀ε>0 ∃δ(ε)>0: x>δ ⇒ f(x)>ε
Вычислите следующие односторонние пределы.
1) Ответ: (напоминание: при x<0 |x|=- x)
2) , . Ответ: ,
3) , . Ответ: ,
Глава 5. Сравнение бесконечно малых (бесконечно больших)
5.1 Основные понятия и обозначения
Мы уже разобрали множество примеров, в которых раскрытие неопределенностей и приводило к различным результатам. Сейчас мы проведем их систематизацию.
Для начала заметим, что сравнение двух величин в обыденном понимании («Делает из мухи слона!») – это не только выяснение, что больше, а что меньше. Важно и то, каков масштаб различий.
Определение 12.Функция называется бесконечно малой при при ,если
Функция называется бесконечно большой при ,если
Так, например, является бесконечно большой при и бесконечно малой при .
Применительно к функциям и , бесконечно малым при , сравнение – это анализ поведения их отношения при . Он может привести к следующим результатам.
Пусть и бесконечно малые функции при .
(N)
1. . В этом случае α(х) называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем β(х). Обозначение: α(х)=о(β(х)).
Символ «о» читается «о-малое от…», его сходство с числом 0, разумеется, не случайно. Часто для краткости аргументы опускают и пишут просто α=о(β).
2. . В этом случае α(х) называется бесконечно малой более низкого порядка малости, чем β(х). Поскольку в этом случае , можно записать: β(х)=о(α(х)).
3. . В этом случае говорят о бесконечно малых одного (или одинакового) порядка малости.
В частности, при С=1 бесконечно малые называются эквивалентными; это обозначается как α~β.
Если С≠1, можно использовать обозначение α~ С β. В самом деле, .
4. не существует. В этом случае бесконечно малые называются несравнимыми. Поскольку этот случай встречается редко, специального обозначения для него нет.
Аналогично[5] можно провести сравнение бесконечно больших .
(N+1)
1. Если ,то функция А(х) называется бесконечно большой более высокого порядка роста, чем В(х).
2. Если , то А и В – бесконечно большие функции одного порядка роста. В частности, если то А(х) и В(х) - эквивалентные бесконечно большие:А~В.
3. Если , то В(х) называется бесконечно большой более высокого порядка роста, чем А(х).
4. Если не существует, то А(х) и В(х) несравнимы.
Пример 35.Выясним, являются ли заданные далее функции бесконечно малыми или бесконечно большими, и сравним их (если это возможно).
а)
б)
в)
Решение. а) Вычислим пределы обеих функций при .
является бесконечно малой при .
тоже является бесконечно малой при .
Сравним их между собой. (См(N))
При вычислении был использован известный предел из ().
Т.к. является бесконечно малой более высокого порядка, чем
б) Вычислим пределы данных функций при
является босконечно большой.
(См. правило 1)
тоже является бесконечно большой .
Сравним их между собой. (См. (N+1)).
является бесконечно большой более высокого порядка роста, чем .
в) Вычислим пределы при .
- бесконечно малая
- тоже бесконечно малая.
Сравним их между собой. (См. (N)).
являются бесконечно малыми одного порядка.
Контрольный вопрос. Сравните при хà∞ бесконечно большие с бесконечно большой .
Подсказка. См. пример 7.
5.2 Эквивалентность функций и ее применение к вычислению пределов
Теорема 6. Предел отношения двух бесконечно малых (бесконечно больших) функций не измениться, если каждую из них (или одну) заменить эквивалентной ей функцией. Т.е., если при то .
Из этой теоремы вытекает
Правило 7.Чтобы вычислить предел, содержащий неопределенность или следует заменить исходные выражения эквивалентными им степенными функциями (если это возможно). Затем провести необходимые сокращения и вычислить предел.[6]
Пример 7 (продолжение). Вычислим пределы: .
Заметим, что , т.е. х+1~ х при хà∞. Отсюда по правилу 9
а) ;
б) ;
в) ;
г) не существует. В самом деле, если бы он существовал, то существовал бы и предел .
Для того, чтобы эффективно применять правило 7, следует знать список основных эквивалентностей. Прежде чем выписать его, укажем два довольно очевидных свойства эквивалентных функций.
· Симметричность: если при х→∗ f~g, то g~f;
· Транзитивность: если при х→∗ f~g и g~h, то f~h.
Эти свойства позволят нам выписать несколько эквивалентных друг другу функций.
Основные эквивалентности при и→0
sinu ~ u, tg u ~ u, arcsin u ~ u, arctg u ~ u,
eu−1 ~ u, ln(1+u) ~ u;
1− cos u ~ u2/2;
au−1 ~ u lna;
loga(1+u) ~ ulogae; (7)
(1+u)p−1 ~ pu (p∈ℝ). В частности, ~ .
Замечание: u может быть как независимой переменной, так и функцией х, такой что .
Большая часть формул (7) – переформулировка на новом языке уже известных следствий первого и второго замечательных пределов. Например, запись 1−cos u~u2/2 означает то же самое, что и формула , которая после деления на 2 приобретает уже знакомый вид: .
Отдельного комментария требует последняя эквивалентность. У этой формулы не было аналогов в предыдущих разделах.
Утверждение. .
Доказательство. Сделаем замену переменной . Тогда . Заметим, что при tà0 et-1~t, и, кроме того, ept-1~pt, покольку ptà0. По теореме 6 .
Использование правила 7 и основных эквивалентностей позволяет во многих случаях сократить процесс вычисления предела. Покажем это на примерах 17 и 31, уже решенных ранее.
Пример 17.Вычислим (С≠0).
Решение. Поскольку , то sinCx~Cx. Значит,
.
Пример 31.Вычислим .
Решение. Сразу применить основные эквивалентности нельзя. Выполним те же самые преобразования, что и в первом способе решения:
Далее воспользуемся правилом 7, полагая в числителе , а в знаменателе :
.
Отметим, что применять правило 7 (как и другие правила) следует аккуратно. Иногда желание получить быстрое решение приводит к ошибкам.
Пример 35.Вычислим .
Решение. Имеем неопределенность . Однако, здесь нельзя сразу применить основные эквивалентности, т.к. πх→π, а не к 0.
Поэтому прежде всего сделаем замену переменной и=х–1, потом воспользуемся формулами приведения. Только после этого появится возможность применить правило 7.
.
Ответ. -1/3.
Пример 36.Вычислим .
Решение. Несмотря на то, что при х→0 справедливы эквивалентности tg2x~sin2x~2x, немедленное использование правила 7 невозможно! Разность tg2x−sin2x не эквивалентна 2х−2х≡0. Следует начать с преобразования разности в произведение, что позволит затем воспользоваться правилом 7.
.
Ответ. 4.
Пример 37.Вычислим .
Решение. Пример по виду похож на предыдущий. Но здесь выкладка не приводит к ошибке. Дело в том, что в этом примере возможно почленное деление:
.
Ответ. А=-1.
В предыдущем примере почленное деление приводило к неопределенности .
Пример 38.Вычислим .
Решение. Имеем неопределенность типа . Преобразуем разность в произведение так, чтобы стало возможным применение последней из формул (7): .
Далее заметим, что , поэтому ~ . Отсюда по правилу 7 .
Ответ. 2.
Пример 39.Вычислите самостоятельно , последовательно отвечая на вопросы.
1. Какого типа неопределенность? ( )
2. Какая из формул (7) наиболее похожа на формулу в числителе?
(Последняя.)
3. Можно ли применить эту формулу немедленно? Если нет, что этому мешает? (Нельзя. Мешает отсутствие вычитаемого, равного 1.)
4. Какими способами можно устранить затруднение?
(Таких способов два:
а) вынести за скобку;
б) прибавить и вычесть 1 в числителе, а затем рассмотреть разность двух пределов.)
5. Какой из путей решения менее трудоемок? (Второй.)
6. Выполните необходимые преобразования и получите ответ.
Ответ. А=−1/6.
5.3 Порядки малости и роста функции. Главные части функций при
Можно ли придать понятию «более высокий порядок малости/роста» количественное выражение? Во многих случаях ответ на этот вопрос – положительный.
Определение 11. Пусть f(х) и g(х) – бесконечно малые при . f(х) называется бесконечно малой k-го порядка малости(или порядка малости k) относительно g(х), если .
Точно так же формулируется определение k-го порядка роста для бесконечно больших.
Контрольный вопрос. Докажите, что в этих случаях f(х)~С(g(х))k.
Отметим, что порядок малости или роста (если он определен) может быть любым положительным числом.
Пример 40. Найдем порядок малости функции α(х)=sin(πx) относительно β(х)=х−1 при х→1.
Решение. Следует вычислить для разных значений параметра k и выяснить, при каком из них получится не 0 и не ∞. Замена сводит задачу к первому замечательному пределу.
Ответ. k =1.
Замечание. Метод сведения к определению 11, использованный при решении примера 40, требует вычислить предел, зависящий от параметра. Этой трудности можно избежать, применяя метод эквивалентных преобразований, основанный на формуле f(х)~С(g(х))k.
Определение 12Если прих→* функция f(x) эквивалентна степенной функции С(g(х))k, то С(g(х))k называется главной частью функции f(х) при соответствующем стремлении аргумента.
В качестве g(x) обычно используются следующие простейшие степенные функции.
Табл.1.
| Бесконечно малая | Бесконечно большая | |
| х→а | g(x)=x-a | g(x)=1/(x-a) |
| х→∞ | g(x)=1/x | g(x)=x |
Замечание. Из определения 12 следует, что если существует , то главной частью f(х) при х→* является С(g(х))k. Число k при этом называется порядком малости или роста f(х) при х→*.
Пример 41. Найдем при х→0+ порядок малости и главную часть[7] функции α(х)= .
Решение. Мы знаем, что 1−cosх~х2/2 при х→0. Отсюда, извлекая квадратный корень, получаем ~ (с учетом положительного знака х). Последнее выражение имеет вид С(β(х))k, где β(х)=х, С= , k=1.
Ответ. Порядок малости k=1; главная часть .
Если в предыдущем примере рассмотреть стремление х→0-, порядок малости снова будет равен 1, а главная часть изменит знак (почему?)
При использовании метода эквивалентных преобразований бывает полезна следующая теорема.
Теорема 7. Пусть α(х) представима в виде α(х)=f(х)∙γ(х), где , а γ(х) – бесконечно большая (или бесконечно малая) при х→*. Тогда при этом стремлении аргумента α(х)~А∙γ(х).
Упражнение. Докажите эту теорему.
Пример 42. Найдем порядок малости и главную часть функции α(х)= при х→0.
Решение. Перегруппируем формулу, выделив бесконечно малый множитель: α(х)= . Функция f(х)= непрерывна в нуле, поэтому . По теореме 7 получаем ~ .
Ответ. Главная часть: . Порядок малости k=2.
Теорема 8.При х→* функция α(х) является бесконечно малой порядка малости k относительно β(х) тогда и только тогда, когда функция является бесконечно большой порядка роста k относительно .
Пример 43.Вычислим при :
а) порядок роста функции (относительно );
б) порядок малости функции (относительно ).
Решение. а) сделаем замену и рассмотрим . При t→0 ~ , т.е. порядок роста равен 1/3. Тот же самый порядок роста имеет исходная функция . В самом деле, мы можем переписать предыдущую эквивалентность, вернувшись к переменной х: ~ ;
б) действуя аналогично пункту а, получаем ~ . (Или, вернувшись к старой переменной, ~ ). И здесь k=1/3. Разумеется, вторую выкладку можно было бы заменить ссылкой на теорему 8.
Ответ. k=1/3.
Переформулируем правило 7 из предыдущего пункта для задач о поиске главной части.
Правило 8.Главная часть произведения (частного) двух бесконечно малых или бесконечно больших равна произведению (частному) главных частей исходных функций.
Пример 44. Найдем главную часть функции f(х)= при х→0+.
Решение. Мы не можем сразу определить, является данная функия бесконечно малой или бесконечно большой, т.к. . Однако, это не препятствует поиску главной части методом эквивалентных преобразований:
f(х)= .
Предел первого сомножителя равен 3. По теореме 7 и правилу 8
f(х)~ ~ .
Последнее выражение и есть искомая главная часть. Функция f(х) оказалась бесконечно большой с порядком роста k=1/2.
Ответ. f(х)~ .
В примерах 36, 37 обсуждалась проблема, связанная с вычитанием бесконечно малых. Сейчас мы можем разобраться в этом вопросе более основательно.
Теорема 9. При х→∗ (f−g=o(f), f~g ).
Теорема 9 справедлива как для бесконечно больших, так и для бесконечно малых функций.
Контрольный вопрос. Дайте словесную формулировку теоремы 9: а) для бесконечно малых; б) для бесконечно больших. Необходимую терминологию см. в п. 5.1 .
Следствие 1. Главная часть разности (или суммы) бесконечно малых с различными порядками малости совпадает с главной частью функции с меньшим порядком малости.
Например, при х→0 разность х – х2 ~ х.
Следствие 2. Главная часть разности (или суммы) бесконечно больших с различными порядками роста совпадает с главной частью функции с большим порядком роста.
Например, при х→∞ разность х – х2 ~−х2.
Чтобы не перепутать формулировки следствий 1 и 2, полезно задавать себе проверочный вопрос:
Чему примерно равна разность:1) одной десятой и одной тысячной? 2) десяти и тысячи?
Замечание. Если в сумме или разности присутствует слагаемое, которое не является ни бесконечно большим ни бесконечно малым, ему можно условно приписать нулевой порядок.
Пример 45. Найдем порядок малости и главную часть функции α(х)= при х→∞.
Решение. Исследуем знаменатель дроби, который является бесконечно большой функцией. Очевидно, что для первого слагаемого k1=2. Далее, ln(ex+1)~ln(ex)=х, поэтому k2=1. Приписывая синусу k3=0 и используя следствие 2, получаем, что главная часть знаменателя равна 0,01х2. Отсюда немедленно следует ответ.
Ответ. Главная часть: . Порядок малости k=2.
Правило 9. Большинство задач анализа бесконечно малых и бесконечно больших можно свести к вычислению главных частей.
Пример 46.Даны функции f(х)= и g(х)= при х→∞. Требуется:
а) Определить, являются ли эти функции бесконечно малыми или бесконечно большими.
б) Найти их главные части и порядки малости (роста).
в) Сравнить функции f и g.
Решение. Найдем главную часть функции f. Поскольку это дробь вида , исследуем числитель и знаменатель отдельно.
Функция не является бесконечно большойв смысле определения 7. (В самом деле, равенство может выполняться для сколь угодно больших x=πk, k∈ℤ.) Поэтому условно припишем ей порядок 0. Функция х3 – бесконечно большая порядка 3; следовательно, это и есть главная часть числителя[8].
Порядок роста знаменателя равен 1, т.к. 1> . Главная часть знаменателя – его первое слагаемое х. По правилу 9 находим f(х)~х2.
1) Найдем главную часть функции g. Рассуждения, аналогичные предыдущим (проведите их сами!), дают g(х)~ х.
2) Из результатов пунктов 1) и 2), с учетом теоремы 6, вытекают ответы на все оставшиеся вопросы. А именно:
· функции f и g – бесконечно большие;
· . Таким образом, g(х)=о(f(х)).
Ответ. а) Бесконечно большие; б) f(х)~х2, k1=2; g(х)~ х, k2=1; в) g(х)=о(f(х)).
Замечание. Следует помнить, что не у всех бесконечно больших и бесконечно малых функций имеются главные части. Для таких функций правило 9 неприменимо.
Пример 47. Покажем что у функции lnx при х→+∞ нет порядка роста и главной части.
Решение. Следуя определению 12, запишем предел при любом k>0. Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя (правило 6):
.
Таким обазом lnx=o(xk) при любом k>0.
Пример 48. Вычислите самостоятельно главную часть фукции f(х)= при х→+∞, отвечая последовательно на вопросы:
1. Какого типа функции стоят в числителе и знаменателе?
(Бесконечно большие.)
2. Чему равна главная часть числителя? (Самому числителю, т.е. х1/4.)
3. Чему равна главная часть подкоренного выражения в знаменателе? Указание. Используйте результат примера 47 и теорему9. (х3.)
4. Чему равна главная часть f(х)?
Ответ. .
Задачи для самостоятельной работы
Вычислить пределы, используя основные эквивалентности.
1)
2)
3)
4)
5)
Найти главные части и порядки малости функций при х→0.
6)
7)
8)
9)
Найти главные части и порядки роста функций.
10) при х→+∞;
11) при х→∞;
12) при х→+∞;
13) при х→1+0;
14) при х→0+ .
Существуют ли главные части у следующих функций?
15) при х→∞;
16) при х→+∞;
17) при х→-∞;
18) при х→0+ .
Ответы.1) -2; 2) ∞; 3)1/5; 4) -18ln3/π; 5) 0; 6) –x, k=1;7)k=1;8), k=1/3;9), k=1; 10), k=1/2; 11), k=1; 12), k=2; 13), k=1; 14), k=1/6; 15)-18) Не существуют.
Глава 6. Непрерывность и разрывы
6.1 Определения непрерывности и их геометрический смысл
Основное определение и некоторые свойства непрерывности уже были сформулированы в п. 3.1. Напомним это определение.
Определение (VIP). Функция называется непрерывной в точке если функция определена в точке .
Фактически, сопоставление предела и значения функции в одной и той же точке было начато нами еще раньше – при обсуждении рисунков 7, 8, 9.
Рис.7 Рис.8 Рис.9
Интуитивно ясно, что непрерывна только функция на рис. 7. Точнее говоря, она непрерывна во всех точках области определения. Функции на рис. 8 и 9 разрывныпри x→a. О таких случаях также говорят: функция теряет непрерывность или терпит разрыв.
Для более детального обсуждения приведем две переформулировки основного определения непрерывности.
Определение 13а.Функция f(x) непрерывна в точке , если для любого найдется , такое что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .
Или в символах: ∀ε>0 ∃δ>0: |x-a|<δ ⇒ |f(x)−f(а)|<ε.
Назовем приращением аргумента величину ∆x=x-a, приращением функции – величину ∆у=f(x)−f(а)=f(а+∆х)−f(а). Будем рассматривать ∆у как функцию от ∆x.
Определение 13б. Функция f(x) непрерывна в точке , если ∆у – бесконечно малая при ∆x→0.
Формулировка 13б раскрывает суть понятия непрерывности: малые изменения аргумента приводят к малым изменениям функции.
Пример 49. Докажем, что функция у=х непрерывна в любой точке x=a.
Доказательство. Для любого найдется , такое что для всех , удовлетворяющих условию , после замены обозначений получим неравенство .
Пример 50. Докажем, что функция у=sinх непрерывна в любой точке x=a.
Доказательство. Прежде всего, установим зависимость между приращениями ∆у и ∆x:
.
Далее заметим, что . Отсюда следует, что∆у→0 при ∆x→0.
Замечание.В доказательстве использованы элементарные неравенства |cosα|≤1, |sinα|≤|α|, но не эквивалентность sinα~α. Дело в том, что при обосновании первого замечательного предела (а значит, и всех его следствий) используется непрерывность тригонометрических функций. Никакое доказательство не должно содержать ссылок (прямых или косвенных) на доказываемое утверждение.
Заменив в основном определении двусторонний предел односторонним, получим определение односторонней непрерывности.
Определение 14.Функция называется непрерывной слева (непрерывной справа) в точке , если .
Графики функций, непрерывных слева и справа в точке а, приведены на рисунках 18 и 19 соответственно. (Оба этих рисунка получены из рис.17 путем доопределения f(a).)
Определение 15.Функция называется непрерывной на промежутке, если она:
1) непрерывна в каждой внутренней точке промежутка;
2) односторонне непрерывна в каждой граничной точке, входящей в промежуток.
6.2 Классификация точек разрыва
Определение 16. Точка x=a называется точкой разрыва функции, если эта функция определена в проколотой окрестности точки a, но не является непрерывной в этой точке.
Контрольный вопрос.
Является ли x=0 точкой разрыва для функций: а) lgx; б) tgx; в) сtgx?
Определение 17.Точками разрыва первого рода функции f(x) называют такие точки разрыва, в которых односторонние пределы существуют и конечны. В частности, при А=В говорят об устранимом разрыве, а неустранимый разрыв первого рода (где А≠В) называют скачком.
Примеры устранимых разрывов приведены на рис. 8 и 9, примеры скачков – на рис. 17, 18, 19.
Определение 18.Точками разрыва второго рода функции f(x) называют такие точки разрыва, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.
Примеры функций, имеющих разрыв второго рода:
1) Функция, изображенная на Рис.12
;
2) Функция 1/х при x→0 (нарисуйте график самостоятельно);
3) Функция cos(1/х) при x→0 (график на рис. 20)
Исследование непрерывности и разрывов функции включает в себя:
1) Нахождение точек разрыва.
2) Исследование характера каждой точки разрыва.
Это исследование позволяет построить эскиз графика функции в окрестности точек разрыва в соответствии с геометрической интерпретацией односторонних пределов.
Для элементарных функций первая часть исследования делается на основе теоремы 2. Из нее вытекает
Правило 10. Точками разрыва элементарной функции являются точки, выколотые из области определения, и только они.
Вторая часть исследования – поиск односторонних пределов в каждой точке разрыва. Отметим, что такой расчет далеко не всегда связан со сложными вычислениями.
Пример 51. Исследуем точки разрыва функции
Решение. 1) Сразу видим точку разрыва а=0. Другую точку определяем из уравнения . Отсюда а=1.
2) Для а=0
Вывод: В точке а=0 функция имеет скачок.
Для а=1 сразу видим, что оба односторонних предела бесконечны. Т.е., здесь мы имеем разрыв 2-го рода.
Чтобы построить эскиз графика, следует учесть знаки А и В. Для этого заметим, что при х∈(0;1) и при х∈(1;+∞). Поэтому
Эскиз графика в окрестности точек раз-рыва – синие и фиолетовые линии на рис. 21. (Для большей наглядности мы изобразили график целиком.)
Рис. 21
Не всегда функция задается одним и тем же правилом (формулой) на всей области определения. Такие функции называются составными. Точки, в которых происходит смена правила, называются точками склейки. В этих точках возможны как сохранение непрерывности, так и ее потеря.
Пример 52.Исследуем непрерывность функции
.
Решение. 1) Функция заведомо непрерывна всюду, кроме точек склейки а=±2. Для этих точек необходимо дополнительное исследование.
2) Исследуем точку а=2.
f(2)=22=4 (при х=2 в определении f(x) действует верхняя формула!)
На основании теоремы 5 (см. п.4.2.) существует двусторонний т.е. функция непрерывна в точке а=2.
Теперь исследуем точку а=-2.
Получили, что функция имеет при а=-2 неустранимый разрыв 1-го рода. Значение f(-2) при этом несущественно.
Упражнение. Постройте график функции из примера 46.
Задачи для самостоятельной работы
Докажите непрерывность функций на основе определений 14.
1) y=c=const; 2) y=cosx; 3) y= .
Исследуйте точки разрыва функций. Постройте эскизы графиков в окрестности точек разрыва.
.
Ответы:
4) а=0 – устранимый разрыв;
5) а=0 – неустранимый разрыв 1-го рода;
6) а=1 –разрыв 2-го рода, а=2 – устранимый разрыв;
7) а=0 – устранимый разрыв, а=1 –разрыв 2-го рода;
8)а=-1 – неустранимый разрыв 1-го рода, а=0 – разрыв 2-го рода.
Глава 7. Правило Лопиталя-Бернулли
При вычислении пределов, содержащих различные неопределенности, не всегда можно воспользоваться ранее разобранными правилами. Тогда при выполнении необходимых условий можно применить правило Лопиталя-Бернулли.
В этой главе предполагается, что читатель уже знаком с таблицей производных и правилами дифференцирования. Читатель может повторить этот материал по задачнику [Ефимов, т.1], начало главы 5.
Пример 53.Вычислим .
Решение. .
Получили неопределенность, от которой нельзя избавиться известными нам способами, применяя правила с 1-ого по 5-ое. Используем правило 6.
.
Ответ.
Пример 54.Вычислим .
Решение. Заметим, что функция ведет себя различным образом при и при , поэтому вычислим два односторонних предела.
- сразу получили ответ.
(по правилу 11) .
Опять получили неопределенность, но новое выражение проще исходного, поэтому еще раз применим правило11 6.
Ответ: , .
Пример 55.Вычислим, применяя правило Лопиталя-Бернулли, .
Решение. Так как при подстановке получаем , можно пользоваться правилом 11. И тогда
Правило 11 пришлось применить два раза. Этот предел можно было вычислить, применяя правила 4 и 2, но решение было бы менее рациональное.
Ответ: .
Правило 12.Если при вычислении получается неопределенность типа , то можно использовать правило Лопиталя, преобразовав предварительно выражение тождественным образом так, чтобы появилась необходимая для правила дробь: или .
Правило 13.Если при вычислении предела сложно-показательной функции получается одна из неопределенностей типа то можно использовать правило Лопиталя, преобразовав предварительно выражение тождественным образом так, что , и вычислив , получить ответ.
Пример 56.Вычислим, применяя правило Лопиталя-Бернулли, .
Решение. При подстановке получаем неопределенность
.
Используем правило 12, следуя которому, преобразуем тождественно данное выражение в дробь.
(по правилу Лопиталя) .
Ответ. .
Замечание. Если построить необходимую для правила Лопиталя дробь иначе, то получим
Результат оказался опять неопределенностью и, кроме того, новое выражение сложнее, чем исходное. То есть такое преобразование не позволяет вычислить данный предел.
Пример 57.Вычислите самостоятельно, отвечая последовательно на вопросы.
Решение. 1) Что получается при непосредственной подстановке , ответ или неопределенность? (неопределенность типа )
2) Какое правило можно применить, чтобы избавиться от этой неопределенности? (правило 12)
3) Преобразуйте данное выражение в необходимую для вычисления дробь, вычислите предел по правилу Лопиталя. Если результат получился сложнее исходного выражения, постройте дробь иначе.
( ).
4) Существует ли более короткое решение задачи?
(Да, если сначала сделать замену , а затем применить правило 11.)
Пример 58.Вычислим, применяя правило Лопиталя - Бернулли, .
Решение. При подстановке получаем неопределенность
.
Используем правило 13, следуя которому, преобразуем тождественно данное выражение следующим образом:
, где .
Вычислим по правилу 11 (Лопиталя):
.
При подстановке получаем опять неопределенность, но теперь в новом выражении содержится первый замечательный предел (см.(1)). И выделив его, получаем
.
Окончательно .
Ответ. .
Пример 40.Вычислите самостоятельно, отвечая последовательно на вопросы.
Решение. 1) Что получается при непосредственной подстановке , ответ или неопределенность? (неопределенность типа )
2) Какое правило можно применить, чтобы избавиться от этой неопределенности? (правило 13)
3) Преобразуйте данное выражение по выбранному правилу.
( )
4) Что получается при вычислении предела , когда подставляем непосредственно ? (неопределенность типа )
5) Какое правило можно применить, чтобы избавиться от этой неопределенности? (правило 12)
6) Преобразуйте соответствующим образом и вычислите .
( )
7) Дайте окончательный ответ, чему равен предел .
( )
Задачи для самостоятельной работы
Вычислите следующие пределы.
1) , 2) , 3) ,
4) , 5) .
Ответы. 1) , 2) , 3) , 4) , 5) .
Список литературы
1. Морозова В.Д. Введение в математический анализ
2. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. /Под ред. Б.П.Демидовича. – М.: Интеграл-Пресс, 1997. – 416 с.
Оглавление
Глава 1. Предел последовательности. 3
1.1 Понятие числовой последовательности. 3
1.2 Предел числовой последовательности. 4
1.3 Число е. 9
Задачи для самостоятельной работы.. 11
Глава 2. Предел функции. 12
2.1 Окрестность точки. 12
2.2 Предел функции при xàa. 13
2.3 Предел функции при xà∞.. 15
2.4 Бесконечный предел функции. 17
Задачи для самостоятельной работы.. 21
Глава 3. Вычисление пределов. 22
3.1 Некоторые теоремы о пределах и непрерывности функции. 22
3.2 Некоторые формулы и приемы элементарной математики, используемые при вычислении пределов. 22
3.3 Простейшие приемы вычисления пределов. 26
3.4 Правила вычисления пределов, содержащих различные неопределенности 26
Задачи для самостоятельной работы.. 33
3.5 Первый замечательный предел. 33
Задачи для самостоятельной работы.. 37
3.6 Второй замечательный предел. 37
Задачи для самостоятельной работы.. 42
Задачи для самостоятельной работы.. 45
Глава 4. Односторонние пределы функции. 46
4.1 Односторонние пределы функции при стремлении аргумента к бесконечно удаленной точке. 46
4.2 Определение односторонних пределов функции при ........ 48
Задачи для самостоятельной работы.. 51
Глава 5. Сравнение бесконечно малых (бесконечно больших) 52
5.1 Основные понятия и обозначения. 52
5.2 Эквивалентность и ее применение к вычислению пределов. 56
5.3 Порядки малости и роста. главные части. 61
Задачи для самостоятельной работы.. 68
Глава 6. Непрерывность и разрывы.. 71
6.1 Определения непрерывности и их геометрический смысл. 71
6.2 Классификация точек разрыва. 73
Задачи для самостоятельной работы.. 77
Глава 7. Правило Лопиталя-Бернулли. 78
Задачи для самостоятельной работы.. 83
Список литературы.. 84
Оглавление. 85
[1] Детальное обсуждение понятия окрестности – в следующей главе.
[2] В иностранной математической и в переводной экономической литературе также встречается обозначение log b без указания основания логарифма.
[3] Пределы, где результат зависит от знака бесконечности, к которой стремится аргумент х, называются односторонними пределами на бесконечности. Они подробно рассмотрены в главе 4
[4] За исключением чисел из отрезка [-1;0].
[5] Обратите внимание на различие в названиях первого и второго случаев для бесконечно больших и для бесконечно малых.
[6] Теорема 6 справедлива как для бесконечно больших, так и для бесконечно малых функций. Правило 9 применимо к формулам, содержащим и то, и другое.
[7] В условии подразумевается, что β(х)=х, поскольку при указанном стремлении х→0+ функция α(х) – бесконечно малая.
[8] Рассуждая более аккуратно: .