Правило 1.

Если при хà∞ возникла неопределенность , необходимо в числителе и знаменателе вынести за скобку х в максимальной степени (если это возможно) и сократить дробь.

Пример 8. Вычислим .

Решение. Чтобы вычислить данный предел, воспользуемся теоремой 1: .

Получили неопределенность, от которой можно избавиться, используя правило 1. Из каждого множителя в числителе и знаменателе вынесем в максимальной степени.

 

Ответ. .

Замечание. В дальнейшем часть преобразований, связанных с использованием теорем о пределах, будем выполнять в уме.

 

Правило 2.(о пределе дробно-рациональной функции)

Если при хàа возникла неопределенность , то необходимо в числителе и знаменателе выделить множитель и сократить дробь (т.к. и , то оба многочлена такой множитель содержат).

Пример 9.Вычислим .

Решение. Подставим в функцию и выясним, приведет это к ответу или к неопределенности.


Получили результат, который не является неопределенностью.

Ответ. .

Пример 10.Вычислим .

Решение. Подставим в функцию

.
Получили неопределенность, от которой можно избавиться, применив правило 2. Выделим в числителе и знаменателе множитель . Для этого можно использовать схему Горнера (или деление «уголком»).

Числитель:

Знаменатель можно разложить следующим образом:

 

Теперь


Опять после подстановки получили неопределенность. Еще раз воспользуемся правилом 2.

Числитель является квадратным трехчленом вида , один корень которого известен. Используя теорему Виета, а именно то, что , найдем второй корень .

Получим

 

Ответ.

Пример 11.Вычислим .

Решение. Подставим в функцию .

.
Получили неопределенность. Преобразуем данное выражение в рациональную дробь, приведя его к общему знаменателю.

 

Применяя правило 2, получим

.

Ответ. .

 

Правило 3.(для функций, содержащих радикалы)

Если при вычислении предела функции, содержащей иррациональность, получается неопределенность, от которой нельзя избавиться, применяя правила 1 и 2, то необходимо преобразовать задачу так, чтобы стало возможным применение этих правил 1 и 2. Для этого можно применить следующие способы:

1) ввести новую переменную, после чего все корни извлекаются;

2) тождественно преобразовывая выражение, дополнить его до одной из формулА1-А3, применение которой избавит неопределенность от корней.

 

Пример 12.Вычислим .

Решение. Подставим в функцию .

.

Получили неопределенность, избавиться от которой, используя правило 2 нельзя из-за наличия корней. Следуя правилу 3, сделаем замену , которая позволит избавиться одновременно от обоих корней. При этом . При стремлении х к 3 новая переменная t стремиться .

После подстановки получим .

Неопределенность, естественно, осталась, но появилась возможность применить правило 2. Разложим числитель и знаменатель новой рациональной дроби на множители и упростим выражение.


(Мы использовали формулы .)

Ответ. .

Пример 13.Вычислим .

Решение. Подставим в функцию .

.

Получили неопределенность, от которой можно будет избавиться по правилу 2 только после того, как мы уберем корень в числителе. Для этого умножим одновременно числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, т.е. на . При этом будет построена формула А1: .

Теперь используя правило 2, получим

 

Ответ. .

Пример 14.Вычислим .

Решение. а) При непосредственной подстановке в выражение получаем - неопределенность не рассмотренного ранее типа. Так как функция содержит корень, необходимо от него избавиться. Для этого умножим и разделим ее на сопряженное выражение.

 

Хотя новое выражение опять содержит корень, теперь можно избавиться от получившейся неопределенности, применив правило 1.

.

б) Этот пример[3] по виду очень похож на пример а), но здесь никакой неопределенности нет: .

Ответ. а) ; б) +∞.

Пример 15.Вычислите самостоятельно , отвечая последовательно на вопросы.

Решение. 1) Что получается при непосредственной подстановке ответ или неопределенность? (неопределенность )

2) Какое правило можно применить, чтобы избавиться от этой неопределенности? (правило 3)

3) Чтобы избавиться от корня, входящего в выражение, необходима замена переменной или дополнение до формулы и какой именно?

(дополнение до формулы )

4) Преобразуйте выражение выбранным способом.

( )

5) Что получается при непосредственной подстановке в новое выражение?

(неопределенность вида )

6) Какое правило можно применить, чтобы избавиться от этой неопределенности?

(правило 1)

7) Преобразуйте выражение выбранным способом и вычислите предел.

Ответ. .

 

Задачи для самостоятельной работы

Вычислите следующие пределы.

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) ,

Ответы. 1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) .

 

3.5 Первый замечательный предел

 

Правило 4.(для выражений, содержащих тригонометрические функции)

Если при вычислении предела выражения, в котором содержатся тригонометрические функции, появляется неопределенность, то для избавления от нее необходимо свести задачу к вычислению первого замечательного предела, а именно

, где (1)

Пример 16.Вычислим .

Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем

.

Результат не содержит неопределенности.

Ответ. .

Пример 17.Вычислим (С≠0).

Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем - неопределенность. И так как данное выражение содержит тригонометрическую функцию, воспользуемся правилом 4 и выделим первый замечательный предел.

Преобразуем тождественно так, чтобы появилась дробь ,где .

.

Ответ. .

Пример 18.Вычислим .

Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем .

Предел числителя не существует (см. замечание 3 в главе 2). Однако, заданный в условии предел, не содержит неопределенности, так как в нем и ограниченная величина делится на бесконечно большую. Таким образом, получаем .

Ответ. .

Пример 19.Вычислим .

Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем

- неопределенность и, так как данное выражение содержит тригонометрическую функцию, воспользуемся правилом 4 и выделим первый замечательный предели в числителе, и в знаменателе.

Роль в числителе играет , а в знаменателе .

.

Ответ. .

Пример 20.Вычислим .

Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем - неопределенность и, так как данное выражение содержит тригонометрическую функцию, воспользуемся правилом 4 и выделим первый замечательный предел. Для этого преобразуем выражение следующим образом.

.

Ответ. .

Пример 21.Вычислите самостоятельно, отвечая последовательно на вопросы.

Решение. 1) Что получается при непосредственной подстановке , ответ или неопределенность? (неопределенность типа )

2) Какое правило можно применить, чтобы избавиться от этой неопределенности? (правило 4)

3) Выделите в данном выражении первый замечательный предели найдите ответ. (используйте ).

Ответ. .

Пример 22.Вычислим .

Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем - неопределенность. Но ни к одному из рассмотренных правил данное выражение не подходит. Так как воспользоваться известными правилами не позволяет наличие функции arcsinx, заменим ее новой переменной.

. (правило 4)

Ответ. .

При решении примеров 17 и20-22 были получены следствия первого замечательного предела, которые часто встречаются при вычислении более сложных пределов. Этими следствиями далее мы будем пользоваться как табличными.

Следствия первого замечательного предела.