Правило 1.
Если при хà∞ возникла неопределенность , необходимо в числителе и знаменателе вынести за скобку х в максимальной степени (если это возможно) и сократить дробь.
Пример 8. Вычислим .
Решение. Чтобы вычислить данный предел, воспользуемся теоремой 1: .
Получили неопределенность, от которой можно избавиться, используя правило 1. Из каждого множителя в числителе и знаменателе вынесем в максимальной степени.
Ответ. .
Замечание. В дальнейшем часть преобразований, связанных с использованием теорем о пределах, будем выполнять в уме.
Правило 2.(о пределе дробно-рациональной функции)
Если при хàа возникла неопределенность , то необходимо в числителе и знаменателе выделить множитель и сократить дробь (т.к. и , то оба многочлена такой множитель содержат).
Пример 9.Вычислим .
Решение. Подставим в функцию и выясним, приведет это к ответу или к неопределенности.
Получили результат, который не является неопределенностью.
Ответ. .
Пример 10.Вычислим .
Решение. Подставим в функцию
.
Получили неопределенность, от которой можно избавиться, применив правило 2. Выделим в числителе и знаменателе множитель . Для этого можно использовать схему Горнера (или деление «уголком»).
Числитель:
Знаменатель можно разложить следующим образом:
Теперь
Опять после подстановки получили неопределенность. Еще раз воспользуемся правилом 2.
Числитель является квадратным трехчленом вида , один корень которого известен. Используя теорему Виета, а именно то, что , найдем второй корень .
Получим
Ответ.
Пример 11.Вычислим .
Решение. Подставим в функцию .
.
Получили неопределенность. Преобразуем данное выражение в рациональную дробь, приведя его к общему знаменателю.
Применяя правило 2, получим
.
Ответ. .
Правило 3.(для функций, содержащих радикалы)
Если при вычислении предела функции, содержащей иррациональность, получается неопределенность, от которой нельзя избавиться, применяя правила 1 и 2, то необходимо преобразовать задачу так, чтобы стало возможным применение этих правил 1 и 2. Для этого можно применить следующие способы:
1) ввести новую переменную, после чего все корни извлекаются;
2) тождественно преобразовывая выражение, дополнить его до одной из формулА1-А3, применение которой избавит неопределенность от корней.
Пример 12.Вычислим .
Решение. Подставим в функцию .
.
Получили неопределенность, избавиться от которой, используя правило 2 нельзя из-за наличия корней. Следуя правилу 3, сделаем замену , которая позволит избавиться одновременно от обоих корней. При этом . При стремлении х к 3 новая переменная t стремиться .
После подстановки получим .
Неопределенность, естественно, осталась, но появилась возможность применить правило 2. Разложим числитель и знаменатель новой рациональной дроби на множители и упростим выражение.
(Мы использовали формулы .)
Ответ. .
Пример 13.Вычислим .
Решение. Подставим в функцию .
.
Получили неопределенность, от которой можно будет избавиться по правилу 2 только после того, как мы уберем корень в числителе. Для этого умножим одновременно числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, т.е. на . При этом будет построена формула А1: .
Теперь используя правило 2, получим
Ответ. .
Пример 14.Вычислим .
Решение. а) При непосредственной подстановке в выражение получаем - неопределенность не рассмотренного ранее типа. Так как функция содержит корень, необходимо от него избавиться. Для этого умножим и разделим ее на сопряженное выражение.
Хотя новое выражение опять содержит корень, теперь можно избавиться от получившейся неопределенности, применив правило 1.
.
б) Этот пример[3] по виду очень похож на пример а), но здесь никакой неопределенности нет: .
Ответ. а) ; б) +∞.
Пример 15.Вычислите самостоятельно , отвечая последовательно на вопросы.
Решение. 1) Что получается при непосредственной подстановке ответ или неопределенность? (неопределенность )
2) Какое правило можно применить, чтобы избавиться от этой неопределенности? (правило 3)
3) Чтобы избавиться от корня, входящего в выражение, необходима замена переменной или дополнение до формулы и какой именно?
(дополнение до формулы )
4) Преобразуйте выражение выбранным способом.
( )
5) Что получается при непосредственной подстановке в новое выражение?
(неопределенность вида )
6) Какое правило можно применить, чтобы избавиться от этой неопределенности?
(правило 1)
7) Преобразуйте выражение выбранным способом и вычислите предел.
Ответ. .
Задачи для самостоятельной работы
Вычислите следующие пределы.
1) , 2) , 3) ,
4) , 5) , 6) ,
Ответы. 1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) .
3.5 Первый замечательный предел
Правило 4.(для выражений, содержащих тригонометрические функции)
Если при вычислении предела выражения, в котором содержатся тригонометрические функции, появляется неопределенность, то для избавления от нее необходимо свести задачу к вычислению первого замечательного предела, а именно
, где (1)
Пример 16.Вычислим .
Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем
.
Результат не содержит неопределенности.
Ответ. .
Пример 17.Вычислим (С≠0).
Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем - неопределенность. И так как данное выражение содержит тригонометрическую функцию, воспользуемся правилом 4 и выделим первый замечательный предел.
Преобразуем тождественно так, чтобы появилась дробь ,где .
.
Ответ. .
Пример 18.Вычислим .
Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем .
Предел числителя не существует (см. замечание 3 в главе 2). Однако, заданный в условии предел, не содержит неопределенности, так как в нем и ограниченная величина делится на бесконечно большую. Таким образом, получаем .
Ответ. .
Пример 19.Вычислим .
Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем
- неопределенность и, так как данное выражение содержит тригонометрическую функцию, воспользуемся правилом 4 и выделим первый замечательный предели в числителе, и в знаменателе.
Роль в числителе играет , а в знаменателе .
.
Ответ. .
Пример 20.Вычислим .
Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем - неопределенность и, так как данное выражение содержит тригонометрическую функцию, воспользуемся правилом 4 и выделим первый замечательный предел. Для этого преобразуем выражение следующим образом.
.
Ответ. .
Пример 21.Вычислите самостоятельно, отвечая последовательно на вопросы.
Решение. 1) Что получается при непосредственной подстановке , ответ или неопределенность? (неопределенность типа )
2) Какое правило можно применить, чтобы избавиться от этой неопределенности? (правило 4)
3) Выделите в данном выражении первый замечательный предели найдите ответ. (используйте ).
Ответ. .
Пример 22.Вычислим .
Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем - неопределенность. Но ни к одному из рассмотренных правил данное выражение не подходит. Так как воспользоваться известными правилами не позволяет наличие функции arcsinx, заменим ее новой переменной.
. (правило 4)
Ответ. .
При решении примеров 17 и20-22 были получены следствия первого замечательного предела, которые часто встречаются при вычислении более сложных пределов. Этими следствиями далее мы будем пользоваться как табличными.
Следствия первого замечательного предела.