Формулы, содержащие корни

Формулы сокращенного умножения

А1) ;

А2) ;

А3) .

К1) ( − несократимая дробь);

К2) .

Другие формулы с корнями сводятся к показательным формулам в силу К1).

Логарифмические формулы.Во всех формулах этого раздела a>0, a≠1, b>0.

Л1) . В частности, .

Л2) . В частности, .

Остальные логарифмические формулы приведем только для натуральных логарифмов, поскольку все вычисления можно (и рекомендуется) сводить к ним.

Л3) .

Л4) .

Л5) . В частности, .

Показательные формулы.Во всех формулах этого раздела a>0.

П1) .

П2) .

П3) .

П4) .

П5) При .

П6) .

Тригонометрические формулы. В формулах этого раздела .

Т1) .

Т2) . Используя обозначения, принятые при вычислении пределов, можно также записывать условную формулу (см. теорему 1).

Т3) Формулы четности и периодичности

Т4) .

Т5) а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д)

е)

Т6) Основные формулы приведения сведем в таблицу.

Например, sin(α-π/2)=-cosα. Комбинируя эти формулы с формулами Т3), можно получить более общие формулы приведения. Например, sin(π/2-α)=-sin(α-π/2)=-(-cosα)= cosα.

Схема Горнера.Часто возникает необходимость разложить на множители многочлен n-й степени, имеющий корень с. Надеемся, что читатель умеет это делать, если n =2. При произвольном n рекомендуем использовать схему Горнера, состоящую в следующем.

Пусть , и число с – корень этого многочлена. Запишем данные в таблицу.

Пустые клетки в нижнем ряду таблицы заполним слева направо по формулам: и т.д. При расчете без ошибок должно получиться . Остальные числа – коэффициенты многочлена , связанного с соотношением .

Пример. имеет корень с=-1 (проверьте!) Вычисления по схеме Горнера дают таблицу:

(Более подробно: 1=1, 4+1(-1)=3, 6+3(-1)=3, 4+3(-1)=1, 1+1(-1)=0.) Это означает, что .

Упражнение. Продолжите расчет и разложите на сомножители первой степени.

Ответ. .

3.3 Простейшие приемы вычисления пределов

Пример 6. Вычислим пределы: а) ; б) .

Решение. а) Заметим, что в точке элементарная функция непрерывна по теореме 2. И следовательно, .

б) Функция не является непрерывной при , т. к. она в этой точке не определена. Однако, при всех справедливы алгебраические тождества:

. Последняя функция уже является непрерывной при . Поэтому .

Ответ. а) 20; б) 1.

3.4 Правила вычисления пределов, содержащих различные неопределенности

При вычислении предела функции могут появиться неопределенности вида и т.д. Слово «неопределенность» означает, что результат вычислений не описывается каким-то универсальным правилом, а зависит от конкретной формулы.

Пример 7.Рассмотрим четыре предела:

.

Попытка вычислить эти пределы по теореме 1 приведет во всех случаях к неопределенности . Однако, после очевидных сокращений мы легко найдем:

не существует, т.к. при росте значения синуса колеблются от -1 до 1.

Отметим (пока без доказательства) что при замене в знаменателях х на х+1 ни один из четырех результатов не изменится, хотя ситуация станет не столь очевидной. Обсуждение примера 7 будет продолжено в п. 5.2.

Запомните, что результаты не содержат в себе неопределенности.