Пример 2.9.

Топологическая интерпретация правил минимизации.

Минимизация с помощью диаграмм Карно.

Диаграмма Карно эквивалентна таблице истинности. Это прямоугольная таблица, содержащая клеток, где n - число переменных функции. Каждому набору переменных функций соответствует своя клетка. Различают два вида таблиц:

- дизъюнктивную диаграмму Карно (ДДК). В ней записывают единичные значения функции;

- конъюнктивную диаграмму Карно (КДК). В ней записывают нулевые значения функции.

В пределах одной и той же таблицы нельзя использовать 1 и 0 одновременно.

  Рис. 2.3  

 

     
Рис. 2.5  
  Рис. 2.6  

 

Код называется циклическим, если его соседние наборы отличаются только в одном разряде. Это касается первого и последнего набора. Из рисунка 2.6. видно, что кодировка переменных по каждой из сторон карт Карно удовлетворяет правилу образования циклического кода (кода Грея). Это правило можно использовать для построения диаграмм Карно с любым числом переменных.

На рисунке 2.7. приведена диаграмма Карно для n=5, при построении которой использовалось выше приведённое правило.

  Рис. 2.7  

 

 

Единицы, симметричные относительно оси диаграммы, делящие её на две половинки, в одной из которых переменная равна единице, а в

  Рис. 2.8  

другой равна нулю, называются смежными или соседними. Изображённые на диаграмме единицы являются соседними относительно оси, делящей диаграмму Карно на две половинки , и склеивание осуществляется по переменной . .

  Рис. 2.9  

Смежные или соседние единицы могут быть объединены в одну группу, причём число единиц в группе равно , например, для рис. 2.9. эта группа состоит из четырёх единиц и ей соответствует конъюнкция db.

Таким образом, минимизация с помощью диаграммы Карно основана на законах склеивания и поглощения и использует правило смежности и симметрии единиц (нулей) относительной осей диаграммы Карно.

Правила минимизации:

 

1. Объединяем единицы (нули) в группы, число которых в группе равно , причём k=0…n, где n – число переменных, каждой группе соответствует конъюнкция n-k переменных. Исключаются k переменных, относительно осей которых выполняется правило симметрии.

2. В объединение включается как можно большее число единиц и нулей.

3. Одни и те же единицы (нули) могут входить в разные объединения.

4. Минимизация начинается с тех единиц (нулей) которые образуют единственно возможные максимальные объединения.

5. Объединения должны покрывать все единицы (нули) функции.

 

 

n=4   Рис. 2.10  

; .

Минимизация неполностью определённых функций.

Поскольку значение переменных из запрещённого набора не могут появляться на входе схем, то доопределение функции на этих наборах осуществляется произвольно, так чтобы реализация была минимальна.

   

; .

На одних и тех же запрещённых наборах при образовании различных форм функция может доопределяться по разному.