Пример 1.8.
Метод деления.
Пример 1.7.
Метод умножения.
Преобразование дробей.
Пример 1.6.
Пример 1.5.
Метод умножения.
Пример 1.4.
Пример 1.3.
Метод деления.
Преобразование целых чисел.
Деление на р (при помощи арифметических действий над величинами с позиционным представлением по основанию q -арифметика основания q). Дано целое число u. Его представление (UmUm-1… U1 U0)р по основанию р получаем следующим образом:
| U0=U mod p, U1=[U/p] mod p, U2=[ [U/p] / p] mod p, и т.д., пока не получим […[ [U/p] / p]…/p]=0. |
Здесь: [х] – ближайшее к х меньшее целое. U mod p – остаток от деления U на p
Перевести (108)10 в двоичную систему счисления:
Итак (108)10 = (1101100)2
Перевести (108)10 в шестнадцатеричную систему счисления.
Итак, (108)10 = (6С)16
Умножение на q (при помощи арифметики основания р). Если представление числа u по основанию q имеет вид (UnUn-1… U1 U0)q, то мы можем, воспользовавшись арифметикой основания р, вычислить многочлен
| Unqn + Un-1qn-1+… U1q +U0 =u , |
воспользовавшись схемой Горнера для вычисления значения многочлена
| ((…(Unq+ Un-1)q+…)q+ U1)q+ U0. |
Преобразовать (1101100)2 в десятичную систему счисления
Преобразовать (6С)16 в десятичную систему счисления
Метод деления используется при переходе из “родной” системы счисления в “чужую”, а метод умножения при переходе из “чужой” в “родную” систему счисления.
Заметим, что часто бывает невозможно точно выразить конечную дробь (0,U-1U-2… U-n ) с основанием q как конечную дробь (0,U-1U-2… Um ) с основанием р. Например, дробь 1/10 имеет бесконечное двоичное представление (0, 0 0011 0011 0011 …)2. Поэтому определенный интерес представляют методы округления результата до m знаков.
Умножение на р (при помощи арифметики основания q). Дано дробное число u; мы получаем последовательные цифры его представления ( .U-1U-2… )p по основанию р следующим образом:
| U-1 =[uP], U-2=[{uP}P], U-3=[{{uP}P}P], … где {х} дробная часть х: х mod 1 = х – [х]. |
Процесс умножения продолжается до тех пор, пока не будет получена дробная часть, равная нулю, в противном случае результат округляется до m знаков, причем, если {…{{up}p}…p} больше 1/2, то U-m следует увеличить на единицу.
Перевести дробь (0,6875)10 в двоичную систему счисления:
Итак (0,6875)10 =(0,1011)2
Деление на q (при помощи арифметики основания р). Если представление числа u по основанию q имеет вид (0,U-1U-2… U-n ), то можно, используя арифметику основания р, вычислить U-1q-1 + U-2q-2+… +U-nq-n в виде:
| ((…(U-n/q+ U-n+1)/q+…+ U-2)/q+ U-1)/q |
Необходимо внимательно следить за ошибками, которые могут появиться в результате усечения или округления при делении на q; этими ошибками часто можно пренебречь, но не всегда.
Преобразовать дробь (0,1011)2 в десятичную систему счисления.
Метод умножения при преобразовании дробей используется при переходе из “родной” в “чужую” систему счисления, а метод деления – из “чужой” в “родную”.систему счисления.
1.2.3. Перевод чисел с основанием q=pk.
Наиболее прост перевод чисел из q-ичной системы в p-ичную (или обратно), если имеет место соотношение q=pk (k - целое положительное) и обе системы имеют неотрицательные базы.
В этом случае перевод из q–ичной системы счисления в p–ичную производят “поразрядно”, заменяя каждую q–ичную цифру равной ей k–разрядным числом, записанным в p–ичной системе счисления. Перевод из p–ичной системы в q–ичную производят при этом следующим образом. Двигаясь от запятой вправо и влево, разбивают p-ичную запись числа на группы по k цифр. Если при этом самая левая группа или самая правая группа дробной части числа окажутся неполными, к ним приписывают соответственно слева и справа столько нулей, чтобы каждая из них содержала k цифр. После этого каждую группу p–ичных цифр заменяют одной q–ичной цифрой, равной числу, обозначенному этой группой p–ичных цифр.
Большой практический интерес представляет случай, когда p=2 (двоичное основание). В этом случае имеем частный случай двоично-кодированной системы счисления, при котором двоичное число и двоично-кодированное число совпадают. Этот факт используют для более короткой записи двоичных чисел. Обычно берут p=23=8 (восьмеричная система счисления) и p=24=16 (шестнадцатеричная система счисления).