Уравнение Навье-Стокса.

Уравнение Бернулли.

Дифференциальные уравнения Эйлера для движущейся жидкости.

Ранее были получены уравнения Эйлера для неподвижной жидкости. Если жидкость движется и она идеальна, то по условиям неподвижной жидкости добавляется еще одна сила- сила инерции жидкости.

Учтем эту силу в системе уравнений Эйлера:

Вывод уравнения основан на использовании системы Эйлера для идеальной жидкости.

Выберем направление ”y”:

Поскольку ω,ρ и y переменные независимые,то:

– Уравнение Бернулли.

Как и основное уравнение гидростатики отражает сумму напоров: Н - геометрический, , статический, в сумме они определяют потенциальную энергию: - скоростной напор. Он отражает кинетическую энергию движущейся идельной жидкости.

Чтобы распространить уравнение Бернулли и на вязкие жидкости, в него вводят дополнительное слагаемое, которое называется потерянный напор.

- потерянный напор.

При выводе этого уравнения учитывают как вязкость, так и сжимаемость жидкости,т.е. это уравнение для неидеальной жидкости. В объеме движущейся неидельной жидкости выделим элементарный параллелепипед с ребрами длиной

В этом объеме на жидкость действуют следующие силы : сила тяжести, сила давления, сила инерции, сила трения, сила упругости. Кроме двух последних остальные уравнения рассмотрены в уравнении Эйлера, поэтому расмотрим только их. В случае вязкой жидкости на гранях параллелепипеда возникают силы касательного напряжения.

μ-вязкость,n-координата.

Пусть в направлении ” касательное напряжение в начале грани будет , а в конце . Тогда изменение напряжения на плоскости в нправлении ” ” будет равно:

Произведение касательного напряжения на площадь даст силу трения. Тогда сила трения в начале грани будет равно:

, а в конце грани

Равнодействующая сила является разностью между начальной и конечной силой трения:

Исходя из определения напряжения получим,что:

Подставляем это выражение в результирующую силу трения:

Если учесть все напряжения, получим:

Полная результирующая сила трения будет равна сумме сил трения по всем направлениям

Результирующюю силу трения можно включить в систему уравнения Эйлера:

Система уравнений для движущейся вязкой жидкости

Если учесть силу упругости, то добавляется еще одно слагаемое вида

Здесь -это величина сдвига по соответствующей оси.

Полученная система уравнений с учетом вязкости жидкости называют системой Навье-Стокса. Для решения выбирают уравнение по оси “y” , однако аналитического решения этого уравнения не существует.

Упрощение в виде невязкой жидкости приводик уравнению Бернулли. Для практического применения уравнения Навье-Стокса применяют теорему о подобиях.