Спектральное представление детерминированных сигналов

Чтобы сделать сигнал объектом изучения нужно составить их матем. модель, т.е. записать аналитически. Однако матем. описание некоторых детерминированных сигналов представляется весьма трудным, поэтому в радиотехнике используют оригинальный приём, при котором сложный по структуре и форме сигнал заменяют (представляют) набором (взвешенной суммой) мат. моделей, описываемых элементарными функциями.

Фундаментальная идея спектрального представления сигналов родилась более 200 лет назад и принадлежит французскому физику и математику Ж.Б. Фурье. Он свёл единую функцию, трудно поддающуюся мат. описанию к более удобным в обращении рядам кратных гармонических тригонометрических функций с различными амплитудами, фазами, которые в сумме дают исходную функцию

Функции, по которым идёт разложение, называются базисными.

Система базисных функций должна обладать свойством ортогональности.

φ₀(t), φ₁(t), φ₂(t)…φ_n(t) – система базисных функций

φ_n(t), φ_m(t) – ортогональные на интервале времени

Представления сигналов элементарной функции упрощается, если система базисных функций будет ортонормирована.

тогда разложение произвольного сигнала S(t) в обобщённый ряд Фурье будет иметь вид (2), где C_i – некоторые постоянные коэффициенты. Для определения коэффициента Ci умножим обе части выражения (2) на одну из базисных функций φ_k(t), тогда:

Совокупность коэффициентов С {C₀, C_k, C_n} – спектральный сигнал, С_kφ_k – спектральная составляющая.

Полученный обобщённый ряд Фурье (2) обладает очень важным св-ва: при выбранной системе ортонормированных базисных функций φ_k и фиксированным числом слагаемых он обеспечивает наилучшее представление сигнала. Наиболее широкое распространение получили ортонормированные базисы тригонометрических (синусоидальных и косинусоидальных функций).

1, sin ω,t , cos ω,t , sin 2ω,t , cos2ω,t …sin nω,t cos nω,t

Применение тригонометрического базиса обусловлено следующим:

1. Гармонические колебания удобно генерировать

2. Гармонические колебания инварианты относительно преобразований, осуществляемых линейными электрическими цепями

3. Широко используется символический метод расчёта (комплексных амплитуд)

Запишем ряд Фурье, используя тригонометрический базис:

S(t) = a₀/2 + (3)

Ряд (3) сходится, если функция S(t) на интервале от –Т/2 до Т/2 удовлетворяет условиям Дирихле. Это значит:

1. Функция не должна иметь разрывов 2ого рода (с уходящими в бесконечность ветвями, например, тангенс)

2. Функция ограничена и имеет конечное число разрывов 1ого рода (скачков)

3. Имеет конечное число экстремумов (т.е. минимумов и максимумов)

а₀ = const =

a_n – амплитуды косинусоидальных составляющих

где ω₁ – частота исходного сигнала, первая (основная) гармоника.

Для чётного сигнала S(t) b_n = 0; для нечётного S(t) в ноль обратятся косинусные составляющие a_n = 0.

Вместо синусно-косинусной записи ряда Фурье чаще используют вещественную (косинусную) форму записи:

S(t) = A₀ +

A_n =;

2012-02-18

Иногда используют ряд S(t) = A₀ + в комплексной форме. Она получается из вещественной путём представления косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент:

cos x = (e^jx+e^-jx)/2

S(t) = A₀ +

C_n=A_n/2, C₀ = A₀ = a₀/2

Амплитудный и фазовый спектр периодического сигнала всегда линейчатый (дискретный), т.к. он состоит из отдельных линий (составляющих), высота которых равна амплитуде гармоники.

Пример. Рассчитать амплитудный и фазовый спектры для периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов. (Смотри видео)

Аналитическая запись этого импульсного сигнала (меандра):

Рассчитаем амплитудный спектр для данного сигнала.

Найдём постоянную составляющую: А₀ = а₀/2 =

q = T/t_и – скважность -показывает сколько импульсов может уместиться в периоде

Т.к. функция S(t) чётная, то в амплитудном спектре будут присутствовать только косинусоидальные составляющие.

A_n =

Данная функция выглядит следующим образом:

Разложение данного сигнала в ряд Фурье выглядит следующим образом:

Вторая, четвёртая (чётные) гармоники отсутствуют.

Видно, что с ростом частоты амплитудная составляющая убывает.

Получение исходного сигнала:

S(t) = (E/q) [1 + 2A₁*cos ω₁t - 2A₃*cos ω₁t + … - …],

Задача анализа заключается в разложении сложной функции (сигнала) на простые гармонические составляющие.

Задача синтеза заключается в получении заданных функций (сигналов сложной формы) путём суммирования ряда гармонических составляющих их спектра.

Выбросы на краях импульса называются дефектом Гиббса. Они связаны с тем, что функцию со скачками первого рода мы пытаемся представить гладкими функциями, это приводит к ошибке аппроксимации и при бесконечном числе слагаемых ряда Фурье эти выбросы стремятся к нулю.

Анализатор – уст-во, на выходе которого получаем амплитудный и фазный спектр. Синтезатор выполняет противоположную операцию.

2012-02-20

S(t) = A₀ +

Схема анализатора:

Схема синтезатора:

Вычислить амплитудный и фазовый спектры периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов с параметрами:

E = 2 В, t_зад. = 0,075 мс, T = 1 мс, Q = 3,5.

t_и = T/Q = 1/3,5 = 0,286 мс;
А₀ = а₀/2 = t­_и/2+t_з-(-t_и/2+t_з)) = (Et_и)/T = E/Q = 2/3,5 = 0,571 В;

a_n =

= 2E/(nω₁T) [sin(nω₁(t­_и/2+t_з)) - sin(nω₁(-t­_и/2+t_з))] = (E/(2π)) [sin πn(1/Q + (2t_з)/T) – sin(πn(-1/Q + (2t_з)/T)] =

= => a_n = (2/(πn)) [(sin (0,436e-3 πn) – sin (-0,136e-3 nπ)];

b_n = (2/T) .

S(t) = 0,571 + A₁cos (2π*1e3 + θ₁)

+ A₂ cos (4π*1e3 + θ₂)

+ A₃ cos (6π*1e3 + θ₃).

2012-02-25

Энергетические хар-ки сигналов

На практике одной из важных составляющих анализа сигналов является изменение их количественных параметров: энергия и мощность, а также связанное с ней среднеквадратичное значение.

Среднеквадратичное значение за интервал времени [t₁;t₂]:

Во всех формулах, определяющих энергетические параметры сигнала, должно входить сопротивление R. Однако, часто мощность не интересует нас как физическая величина, а служит средством сравнения двух различных сигналов, следовательно, сопротивление R из формулы можно исключить, приняв его равным 1 Ом. Тогда энергия сигнала за время [t₁;t₂]:

Мощность периодического сигнала: