Уравнения

Характеристического Частные решения уравнения

Характер корня

Линейные однородные уравнения го порядка с постоянными коэффициентами

Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Пусть дано однородное уравнение второго порядка

, (1)

где и - постоянные числа.

Согласно свойству (4) для определения общего решения уравнения надо найти два линейно независимых частных решения. Будем искать частные решения в виде

, где .

Тогда .

Подставим полученные выражения в данное уравнение

,

откуда, т.к. , (2)

Уравнение (2) называется характеристическим уравнением уравнения (1). Решение уравнения (2) имеет вид:

Возможны следующие случаи:

1. и - действительные и притом не равные между собой;

2. и - действительные и притом равные между собой;

3. и - комплексные числа.

Рассмотрим каждый случай отдельно:

1.

В этом случае , причём т.к. , следовательно, общее решение по свойству (4) имеет вид

2.

Одно частное решение можно искать в виде , но второе уже искать в таком же виде нельзя, т.к. они окажутся линейно зависимыми. Второе частное решение будем искать в виде , где . Тогда и

. Подставим значения в уравнение (1):

.

Т.к. корень характеристического уравнения, то , кроме того , т.к. корни равны между собой. Следовательно, , откуда . Решая последнее уравнение получим . Полагая получим . Следовательно, второе частное решение можно искать в виде . Заметим, что . По свойству (4) имеем , т.е.

3.

В этом случае . . Следовательно,

.

Обозначим и , тогда по свойству (4) общее решение:

Рассмотрим линейное однородное уравнение го порядка:

Для этого уравнения справедлива следующая теорема:

Если функции являются линейно независимыми решениями данного уравнения, то его общее решение суть

где произвольные постоянные.

Если коэффициенты данного уравнения постоянны, то общее решение находится так же, как и в случае уравнения второго порядка:

1. Составляем характеристическое уравнение

2. Находим корни характеристического уравнения

3. По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения, руководствуясь тем, что:

3.1 каждому действительному однократному корню соответствует частное решение

3.2 каждой паре комплексных сопряжённых однократных корней соответствуют два частных решения и

3.3 каждому действительному корню кратности соответствует линейно независимых частных решений

3.4 каждой паре комплексных сопряжённых корней кратности соответствуют частных решений

4. Найдя линейно независимых частных решений , строим общее решение данного линейного уравнения

Описанные выше шаги можно объединить в таблицу:

1.простой

вещественный

корень

2. вещественный

корень

кратности

3. простые

комплексные

сопряжённые корни

4. комплексные

сопряжённые корни

кратности