Пример решения задачи

Дано: стальная балка на двух опорах, нагруженная системой внешних сил, лежащих в силовой плоскости, изображенной на Рисунке 5.3, а. При расчетах принято: F= 20кН, m= 40кН∙м, q=100кН/м, [σ] = 160 МПа.

Требуетсярешить следующие задачи:

1. Определить опорные реакции балки;

2. Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М;

3. Из расчета на прочность подобрать сечение в форме стандартного профиля двутавровой прокатной балки.

Решение:

Определение опорных реакций (Рисунок 5.3, б)

Представим балку как свободное тело, для чего отбросим опоры А и D, а их действие на балку заменим реакциями X_A, Y_A и Y_D.

Заменяем распределенную нагрузку .

При составлении уравнений статического равновесия моментов пар сил примем для удобства правило знаков, по которому сила или сосредоточенный момент, поворачивающие балку вокруг данной точки в направлении вращения часовой стрелки, обуславливают положительное слагаемое в данном.

Составим условия равновесия:

Откуда, получаем Y_D ≈108,33кН; Y_A≈211,66 кН; X_A=0.

Проверка. Правильность нахождения реакций опор можно оценить, например, составив уравнение суммы проекций всех сил на ось Y:

или

Следовательно, опорные реакции определены верно.

Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М для участков балки (Рисунок 5.3, б).

1) Разбиваем балку на участки.

За границы участков принимаем сечения, где приложены момент т или сила F, а также границы действия распределенной нагрузки q. Направление обхода участков выбираются в зависимости от удобства вычислений, чем меньше нагрузок, тем проще формулы для вычислений. В данном случае имеем четыре участка (очередность буквенного обозначения определяет направление обхода, например, LD – начало обхода от точки L к D):

I – AB: 0≤ x1≤ 3м, (x1A=0; x1B=3м);

II – BC: 0≤ x2≤ 1м, (x2B=0; x2C=1м);

III – LD: 0≤ x3≤ 2м, (x3L=0; x3D=2м);

IV – DC: 0≤ x4≤ 2м, (x4D=0; x4C=2м).

Участок I. Выбираем начало координат в точке (опоре) А и приступаем к построению эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М, применяя метод сечений.

Проводим сечение в пределах участка на расстоянии х1 от начала координат. Мысленно отбрасываем правую часть балки и рассматриваем равновесие оставшейся левой части. Составляем уравнения — сумму проекций всех сил на вертикальную ось и сумму моментов всех сил относительно рассматриваемого се­чения:

Задавая значения x₁, соответствующие границам участка I, по­лучим

Q_1A(x1=0) =Y_A=211,67кН; Q_1B(x1=3м) =Y_A-3q=-88,33кН;

M_1A(x1=0) =0кН∙м; M_1B (x1=3м) =3Y_A-32q/2=185,01 кН∙м.

Т.к. сила Q в пределах участка меняет знак, то, очевидно, имеется значение Q=0. Согласно известной дифференциальной зависимости , очевидно, что в точке пересечения (Q=0) изгибающий момент принимает экстремальное значение. Для нахождения этого экстремума вычисляем его координату по формуле:

Откуда, x₁^Э=Y_A/q= 211,67/100=2,117 м.

Подставив значение x₁^Э= 2,117 м в уравнение момента для участка, найдем величину экстремального момента

кН·м.

Участок II. Выбираем начало координат в точке В и приступаем к построению эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М, применяя метод сечений.

Проводим сечение в пределах участка на расстоянии х₂ от начала координат. Мысленно отбрасываем правую часть балки и рассматриваем равновесие оставшейся левой части. Составляем уравнения — сумму проекций всех сил на вертикальную ось и сумму моментов всех сил относительно рассматриваемого сечения:

кН (не зависит от х₂);

.

Задавая значения x₂, соответствующие границам участка II, по­лучим значения изгибающего момента

кН·м;

кН·м.

Участок III. Выбираем начало координат в точке L и приступаем к построению эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М, применяя метод сечений.

Проводим сечение в пределах участка на расстоянии x₃ от начала координат. Мысленно отбрасываем левую часть балки и рассматриваем равновесие оставшейся правой части. Составляем уравнения — сумму проекций всех сил на вертикальную ось и сумму моментов всех сил относительно рассматриваемого сечения:

кН (не зависит от х₃);

.

Задавая значения x₃, соответствующие границам участка III, по­лучим значения изгибающего момента

;

кН·м.

Участок IV. Выбираем начало координат в точке D и приступаем к построению эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М, применяя метод сечений.

Проводим сечение в пределах участка на расстоянии x₄ от начала координат. Мысленно отбрасываем левую часть балки и рассматриваем равновесие оставшейся правой части. Составляем уравнения — сумму проекций всех сил на вертикальную ось и сумму моментов всех сил относительно рассматриваемого сечения:

кН (не зависит от х₄);

Задавая значения x₄, соответствующие границам участка IV, получим значения изгибающего момента

кН·м.

кН·м.

По результатам проведенных расчетов строятся эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M. Эти эпюры представлены на рисунках 5.3 в - г.

Определение сечения балки по условию прочности

Определим из расчета на прочность размеры поперечного сечения балки в форме двутавра.

Подбор сечения производится по максимальному изгибающему моменту M_max. Опасным является сечение в точке экстремума, где действует максимальный по абсолютному значению изгибающий момент M_max =224 кН·м.

Минимально допустимый момент сопротивления сечения изгибу равен

см³.

Стандартный профиль двутавра выбирается по ГОСТ 8239-89 (Приложение С5). Из таблицы сортамента выбираем двутавр № 50:

см³, площадь - A=100см².

Рисунок 5.3