Методические указания к решению задачи

ЗАДАЧА № 4 Расчет статически определимой балки

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ БАЛКИ ПРИ ПРЯМОМ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Как определяется внутренний крутящий момент в поперечном сечении вала? Какое принято правило знаков для крутящего момента?

2. Как распределяются касательные напряжения в круглом сечении вала? В чем преимущества использования полых валов?

3. Как записывается условие прочности вала при кручении? Какие основные задачи решаются при расчёте вала на прочность?

4. Что такое относительный угол закручивания? Как он вычисляется и какова его размерность?

5. Как определить угол закручивания участка вала постоянного сечения?

6. Как формулируется условие жёсткости для вала? Как определяется

7. диаметр вала из условия жесткости?

8. Как записывается закон Гука при чистом сдвиге? Какая связь между модулем Юнга и модулем сдвига для изотропного материала?

Варианты тестовых заданий

4.1 Чему равен наибольший по модулю крутящий момент?    
4.2 Чему равен крутящий момент на участке 3?
4.3 Чему равен неизвестный крутящий момент?  
4.4 На каком участке вала деформация наибольшая, если размеры их считать одинаковыми?  
4.5 На каком участке вала деформация наименьшая, если размеры их считать одинаковыми?
4.6 Укажите правильное распределение напряжений при кручении круглого вала.  
4.7 Укажите вариант рационального распределения моментов на валу.  
4.8 Укажите номер точки, где касательное напряжение при кручении наибольшее.  
4.9 Расположите номера точек в порядке убывания касательных напряжений при кручении.

 


 

Изгиб – это вид деформации, при котором в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. Поперечный изгиб – изгиб, при котором в сечениях стержня кроме внутреннего изгибающего момента возникает и поперечная сила. Плоский изгиб – изгиб, при котором все усилия, изгибающие балку, лежат в одной из плоскостей симметрии балки (в одной из главных плоскостей).

Элементы конструкций, работающих на изгиб, называют балками.

Дано: стальная балка постоянного (двутавр) сечения, нагруженная системой поперечных сил в вертикальной плоскости. Допускаемое напряжение [σ] =160 МПа.

Исходные данные для решения задачи в соответствии с индивидуальным шифром варианта задания указаны в Приложении Д. Справочные данные по прокатному профилю двутавра приведены в Приложении В2.

Требуется:

1) составить в масштабе индивидуальную расчетную схему задачи, учитывая только заданные нагрузки (заданные отрицательные нагрузки направить в сторону противоположную установленной на исходных схемах);

2) определить поперечные силы и изгибающие моменты и построить их эпюры по длине балки;

3) определить опасные сечения балки по условиям изгиба;

4) подобрать размеры сечения стандартного двутавра по таблице сортамента прокатной стали.

Расчет балки на изгиб следует условно разделить на три этапа:

v Определение опорных реакций

На этом этапе осуществляется решение задачи на равновесие твердого тела в соответствии с методологией теоретической механики из раздела «Статика. Плоская произвольная система сил».

Для того чтобы балка могла сопротивляться действию внешней нагрузки, она должна быть соответствующим образом закреплена.

Обычно используются три вида опорных закреплений, которым соответствует определенное количество накладываемых связей (см. Таблицу 5.1).

Таблица 5.1 – Виды опор и их реакции

Вид опоры Схема и реакции Характеристика опоры
Шарнирно - подвижная   Опора препятствует перемещению балки по вертикали; разрешает горизонтальное смещение и поворот сечения.
Шарнирно - неподвижная     Опора препятствует линейному перемещению балки в любом направлении.
Жесткое защемление (жесткая заделка)   Невозможны линейное перемещение сечения и поворот.

 

Для определения реакций опор необходимо:

Освободить балку от связей (опор) и изобразить действующие на неё заданные нагрузки. В данную расчетную схему включить неизвестные опорные реакции, векторы которых должны быть направлены перпендикулярно оси балки. Для неподвижной опоры следует дополнительно ввести опорную реакцию, вектор которой направлен вдоль оси балки. Направления векторов всех неизвестных опорных реакций на данном этапе расчета можно назначать произвольным образом.

Распределенную нагрузку необходимо заменить эквивалентной ей сосредоточенной силой, действующей в том же направлений и приложенной в центре тяжести эпюры распределенной нагрузки (рисунок 5.1).

  Рисунок 5.1  
Выбрать систему координат и составить уравнения статического равновесия. Начало координат удобнее совмещать с левым концом балки, за ось X принять ось балки. Представляется целесообразным составлять уравнения статического равновесия моментов относительно тех точек балки, в которых приложены неизвестные опорные реакции. При наличии внешней нагрузки, вызывающей горизонтальную составляющую у реакции в неподвижной опоре, необходимо добавить уравнение равновесия проекций действующих нагрузок, включая неизвестные опорные реакции, на горизонтальную ось балки.

Решить составленные уравнения равновесия. В случае отрицательных значений у вычисленных опорных реакций следует изменить направления соответствующих векторов на противоположные.

Проверить правильность полученных результатов по уравнению, которое не было использовано в ходе решения, путем подстановки в него вычисленных опорных реакций с учетом их уточненных направлений.

v Определение поперечных сил и изгибающих моментов по длине балки

Решение этой задачи следует проводить в следующей последовательности:

1. Балку разделить на расчетные участки, границы которых совпадают с точками приложения сосредоточенных сил, сосредоточенных моментов или с точками начала и конца действия распределенной нагрузки;

2. Применяя метод сечений для данной задачи, последовательно переходя от одного участка к другому, условно разрезать балку в произвольном сечении на каждом участке;

3. Для каждого участка составить условия статического равновесия отсеченной части балки (левой или правой), из которых получить выражения для определения поперечной силы Q и изгибающего момента M (через текущую координату X) для данного участка;

4. Подставляя в найденные уравнения значения абсцисс на каждом участке вычислить в ряде сечений величины поперечных сил и изгибающих моментов.

Если в пределах участка поперечная сила меняет знак, необходимо найти величину текущей координаты x, которой соответствует нулевое значение поперечной силы Q=0. На эпюре изгибающего момента этой координате будет соответствовать экстремальное значение Мэкс, которое следует вычислить;

- при записи выражений для Q и M следует придерживаться определенных правил:

поперечная сила численно равна алгебраической сумме внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Внешняя сила дает положительное слагаемое, если стремиться повернуть оставшуюся часть балки относительно данного сечения по часовой стрелке. Следует мысленно установить шарнир в рассматриваемом сечении, относительно которого поворачивается отсеченная часть балки от действующих сил;

изгибающий момент численно равен сумме моментов относительно рассматриваемого сечения от всех нагрузок, действующих по одну сторону от этого сечения. Момент от нагрузки считается положительным, если вызывает сжатие верхних волокон рассматриваемой части балки. Мысленно установить в этом сечении заделку и рассмотреть состояние верхних волокон отсеченной части балки в зависимости от данного вида нагрузки.

Графически правило знаков для поперечных сил Q и изгибающих моментов M в зависимости от движения к сечению показано на Рисунке 5.2.

    Рисунок 5.2  
- по вычисленным значениям поперечных сил и изгибающих моментов построить в масштабе соответствующие эпюры. Положительные значения откладывать от нулевой линии вверх, отрицательные – вниз. Полученные плоские фигуры заштриховать вертикальными линиями с указанием знаков.

v Подбор сечения балки (проектный расчет) выполняется по методу допускаемых напряжений.

Особенностью расчета изгиба консольных балок является отсутствие необходимости определения опорных реакций. В этом случае определение поперечных сил Q и изгибающих моментов M целесообразно начинать от свободного торцевого сечения.