Методические указания к решению задач №№ 1.1, 1.2

ЗАДАЧА № 1.2. Расчет грузоподъемности статически определимой шарнирно - стержневой системы

ЗАДАЧА № 1.1. Расчет статически определимого составного ступенчатого бруса

Дано: Составной ступенчатый брус, нагруженный силами , направленными вдоль его оси. Заданы длины участков a, b, c , материалы и соотношение площадей поперечных сечений ступеней.

Исходные данные для решения задачи в соответствии с индивидуальным шифром варианта задания указаны в Приложении Б1.

Требуется:

1) составить в масштабе индивидуальную расчетную схему задачи (заданные отрицательные нагрузки направить из той же точки в сторону, противоположную заданной на рисунке 2.1);

2) построить эпюру продольных сил ;

3) определить допускаемые напряжения;

4) определить по условию прочности базовую площадь поперечного сечения ;

5) построить эпюры напряжений и продольных перемещений

Рисунок 2.1 -Варианты схем к задаче № 1.1

Дано: Стержневая система, состоящая из абсолютно жестких (заштрихованных) балок, шарнирных опор и упругих стальных стержней одинакового поперечного сечения A.

Исходные данные для решения задачи в соответствии с индивидуальным шифром варианта задания указаны в Приложении Б2.

Требуется:

1) составить в масштабе индивидуальную расчетную схему задачи;

2) определить усилия, возникающие в упругих стержнях, выразив их через неизвестную нагрузку F;

3) определить допускаемую нагрузку [F] по условию прочности, приняв [σ] =160 МПа, модуль нормальной упругости E=2·10⁵ МПа;

4) определить напряжения в стержнях при значении F=0,8[F];

5) определить перемещение точки приложения силы F при значении F=0,8[F].

При центральном растяжении (сжатии) в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы, направленные вдоль его оси, все остальные внутренние усилия равны нулю.

1. Определение продольной силы.

Продольная, или нормальная сила, N считается положительной при растяжении и отрицательной при сжатии. Ее величина может быть найдена с помощью метода сечений (РОЗУ), как алгебраическая сумма проекций на ось бруса всех внешних сил, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения:

,

где F_i – сосредоточенные силы; q_x – распределенная нагрузка по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Эпюра продольной силы N представляет собой график ее изменения вдоль геометрической оси стержня.

2. Определение нормальных напряжений.

Действующая в поперечном сечении продольная сила N равномерно распределяется по всему сечению и, как следствие этого, нормальные напряжения σ также равномерно распределяются по всему сечению.

Их величина определяется по формуле: ,

где N_i - продольная сила в i-ом поперечном сечении; А_i - его площадь.

Рекомендуется придерживаться следующей размерности: сила - в ньютонах (Н), площадь поперечного сече­ния - в мм², нормальное напряжение - в МПа (1МПа = 1Н/мм²).

Эпюра σ строится аналогично эпюре N, но в своем масштабе.

3. Определение перемещений в стержневых и шарнирно- стержневых системах.

Линейные упругие перемещения в системах растяжения (сжатия) возникают в результате удлинения (или укорочения) стержней, определяемого по формулам, вытекающим из физического закона Гука:

где l - длина бруса; E - коэффициент пропорциональности (модуль упругости первого рода, или модуль Юнга). Модуль Юнга - это физическая характеристика материала, измеряемая в МПа.

Для бруса с несколькими расчетными участками удлинение бруса подсчитывается как алгебраическая сумма удлинений всех участков:

.

В шарнирно – стержневых системах перемещения шарниров определяется методом засечек(рисунок 2.2). Суть метода состоит в следующем:

а) мысленно разъединить стержни и отметить на схеме удлинения или укорочения стержней;

б) стержни мысленно повернуть вокруг точек подвеса до их встречи. Из-за малости упругих перемещений поворот осуществляется не по дуге, а по касательной, т.е. перпендикулярно радиусу вращения.

На рисунке 2.2 представлена двух стержневая система. Узел из положения С в результате деформации системы перемещается в положение С₁. Стержень 1 удлиняется на Δl₁ , а стержень 2 укорачивается на Δl₂.

Рисунок 2.2- Метод засечек

В сложных статически определимых и во всех статически неопределимых системах используется обратный метод засечек(Рисунок 2.3):

а) задаются конечным положением жесткого элемента или положением шарнира после деформации;

б) из этого положения восстанавливают перпендикуляры на продолжение деформируемых стержней, отсекающих их удлинение или укорочение.

По результатам построений в прямом и обратном методе засечек ищут геометрическую связь между положениями шарниров и абсолютной деформацией стержней.

4. Использование условия прочности.

Соотношение s_max £ [s], называется условием прочности по допускаемым напряжениям. Здесь [s]- допускаемое напряжение материала бруса.

Допускаемое напряжение [s] либо задается заранее, либо находится по формуле:

,

где s_op = s_т - предел текучести для пластичных материалов; s_op = s_т - временное сопротивление (предел прочности) для хрупких материалов; n_σ - запас прочности материала, величина которого имеет статистический характер и связана с конструктивными особенностями, условиями эксплуатации и риском разрушения конкретного изделия.

Рисунок 2.3.- Обратный метод засечек

С помощью условия прочности можно решать три основных задачи сопротивления материалов.

I. Подобрать сечение растянутого (сжатого) бруса, при котором его прочность будет обеспечена.

Площадь поперечного сечения растянутого (сжатого) бруса определяется в виде:

.

Зная форму сечения и его площадь, можно определить линейные размеры сечения или по сортаменту подобрать требуемый стандартный профиль: уголок, швеллер, двутавр и т.п.

II. Определить допускаемую нагрузку, если известны прочностные свойства материала и площадь поперечного сечения бруса:

.

Это соотношение позволяет вычислить наибольшее значение продольной силы N, действующей в опасном сечении и, следовательно, величину допускаемых внешних нагрузок, приложенных к брусу.

III. Провести поверочный расчет прочности бруса.

При поверочном расчете нагрузки, размеры и материал, из которого изготовлен брус, считаются известными. Вычисляется наибольшее нормальное напряжение в опасном поперечном сечении и сравнивается с допускаемым напряжением:

.

Если данное условие выполняется, то прочность бруса обеспечена.