Частотные характеристики линейных систем
При подаче на вход линейного звена гармонического воздействия на выходе этого звена в установившемся режиме также будет получена гармоническая функция
той же частоты
, но отличающаяся от входной по амплитуде и по фазе (рис. 8.1)
Рисунок 8.1 Гармонические сигналы
Изменения амплитуды и фазы
зависит как от свойств самого звена, так и от угловой частоты
входного воздействия.
Отношение выходной величины звена (системы) к входной, выраженных в комплексной форме, называется комплексной частотной характеристикой (КЧХ) или амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ или АФХ).
(1)
где:
=
- модуль КЧХ;
- аргумент КЧХ.
Как видно из (1) КЧХ не зависит от времени, в этом ее принципиальное отличие от временных характеристик. Если временные характеристики определяют поведение звена в переходном процессе, то КЧХ выражает зависимость параметров установившихся выходных колебаний от тех же параметров входных колебаний при различных угловых частотах .
КЧХ полностью определяет и динамические свойства системы, подобно временным характеристикам и ДУ.
Для получения КЧХ достаточно в передаточной функции W(p) заменить комплексную переменную p на .
Зависимость отношения амплитуды выходной величины к амплитуде входной величины от угловой частоты называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ).
А==А(
)
АЧХ показывает, что линейный элемент или система изменяет амплитуду гармонического сигнала: амплитуда уменьшается или увеличивается в А раз при изменении частоты.
АЧХ является модулем КЧХ.
А()=
Зависимость сдвига по фазе выходного сигнала относительно входного от угловой частоты называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ):
ФЧХ показывает, что линейное звено или система изменяет фазу гармонического сигнала: сдвиг по фазе увеличивается или уменьшается на градусов (или радиан).
ФЧХ является аргументом КЧХ.
=argW(
)
Частотные характеристики линейного звена (системы) зависят только от свойств этого звена и не зависят от амплитуды и фазы входных гармонических сигналов.
Частотные характеристики связаны между собой соотношением:
Функция при каждом значении частоты
является комплексной величиной и поэтому может быть представлена в алгебраической форме:
=U(
)+jV(
)
где U() – вещественная частотная характеристика (ВЧХ);
V() – мнимая частотная характеристика (МЧХ).
Годограф вектора при изменении частоты
от 0 до
называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ).
Ее строят на комплексной плоскости. По оси абсцисс откладывают величину U(), а по оси ординат V(
).
На рисунке 8.2 представлены типовые КЧХ, АЧХ и ФЧХ системы:
![]() | |||
![]() |
Рис. 8.2 Частотные характеристики системы
Между частотными характеристиками имеются следующие очевидные соотношения:
Частотные характеристики определяются следующими показателями:
- Показатель колебательности , характеризует склонность системы к колебаниям; чем выше М, тем менее качественна система; в реальных системах 1,1
1,5;
- Резонансная частота - частота, при которой АЧХ имеет максимум, на этой частоте гармонические колебания имеют наибольшее усиление;
- Полоса пропускания системы – это интервал от =0 до
, при котором выполняется условие:
;
- Частота среза - частота, при которой АЧХ системы принимает значения, равные А(0), т.е.
=А(0). (На рисунке 8.2 условно принято, что А(0)=1)
Частота среза косвенно характеризует длительность переходного процесса:
Чем шире полоса пропускания, тем система является более быстродействующей.