Метод Адамса-Маултона.
Метод Адамса-Башфорта.
Этот метод был разработан математиком Адамсом в 1855 г. по просьбе известного английского артиллериста Башфорта, занимающегося внешней баллистикой. Он является многошаговым явным методом, полученным из равенства (5.55) при условии:
;
;
,
т. е. :
.(5.64)
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1) .
Из (5.61) следует : и
. В этом случае мы имеем дело с методом Адамса-Башфорта первого порядка, который совпадает с явным методом Эйлера.
2) ;
;
.
Подставив эти коэффициенты в (5.55) имеем метод Адамса-Башфорта второго порядка
3) ;
;
;
.
Имеем метод Адамса-Башфорта третьего порядка:
и т. д.
Метод Адамса-Маултона является неявным многошаговым методом, полученным из уравнения (5.55) при условии:
;
, (5.67)
откуда следует:
Для разных имеем:
1) , метод Адамса-Маултона первого порядка :
,
который совпадает с неявным методом Эйлера.
2) , метод Адамса – Маултона второго порядка:
;
.
В этом случае полученное выражение совпадает с улучшенным методом Коши-Эйлера.
3) , метод Адамса-Маултона третьего порядка:
;
;
;
.
В отличие от одношаговых методов, многошаговые методы не являются самоначинающимися, т. к. вначале задается только и
, а для применения формулы на первом шаге необходимо знать еще
предыдущих шагов, которые пока не сделаны. Чтобы найти необходимые значения функции на предыдущих шагах, используют одношаговые методы, например Эйлера или Рунге-Кутта. Ясно, что одношаговый метод должен применяться, по крайней мере, на первых
+1 шагах, а затем можно использовать многошаговый метод. Т. о. эффективные и численные методы для решения задач интегрирования с начальными условиями почти всегда являются комбинацией одношаговых и многошаговых методов.