Вычисление длины дуги плоской кривой
Если кривая задана уравнением в декартовых координатах , где , то длина дуги кривой вычисляется по формуле
Пример. Найти длину дуги кривой , заключенной между точками с абсциссами , .
Решение. Так как , , то
(лин. ед.).
Если кривая задана параметрически
,
то длина дуги кривой выражается интегралом
Пример. Найти длину окружности .
Решение. По формуле имеем:
(лин. ед.).
Если кривая задана уравнением в полярных координатах , , то длина дуги кривой выражается интегралом
Пример. Найти длину дуги кардиоиды , ( ), .
Решение. Имеем:
Следовательно, в силу симметрии, имеем:
(лин. ед.).
Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , .
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды: , и осью .
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой , .
5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями , .
6. Вычислить длину дуги кривой , содержащейся между точками с абсциссами , .
7. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды , .
5. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
В ЭКОНОМИКЕ
Выше мы отмечали экономический смысл определенного интеграла, выражающего объем произведенной продукции при известной функции производительности труда.
Рассмотрим другие примеры использования интеграла в экономике.
Рассмотрим производственную функцию Кобба–Дугласа , у которой коэффициенты и приближенно показывают, на сколько процентов изменится выпуск продукции при изменении только затрат труда или только объема производственных фондов на 1%.
Если в функции Кобба–Дугласа считать, что затраты труда есть линейная зависимость от времени, а затраты капитала неизменны, то эта функция может быть представлена в виде . Тогда объем выпускаемой продукции за Т лет составит:
.
Пример.Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Решение. Объем произведенной продукции
.
Используем метод интегрирования по частям, тогда
(усл. ед.).
| Рис. 5.1. Кривая Лоренца |
Пример.По данным исследований в распределении доходов в одной из стран кривая Лоренца может быть описана уравнением ,
где – доля населения, – доля доходов населения. Вычислить коэффициент Джини.
Решение. Очевидно, коэффициент Джини
, так как .
.
Поэтому .
С помощью замены, например, можно вычислить
.
Итак, коэффициент Джини
.
Достаточно высокое значение показывает существенно неравномерное распределение доходов среди населения в рассматриваемой стране.
Определение начальной суммы по ее конечной величине, полученной через время (лет) при годовом проценте (процентной ставке) , называется дисконтированием. Задачи такого рода встречаются при определении экономической эффективности капитальных вложений.
Пусть – конечная сумма, полученная за лет, и – дисконтируемая (начальная) сумма, которую в финансовом анализе называют также современной суммой. Если проценты простые, то , где – удельная процентная ставка. Тогда . В случае сложных процентов и поэтому .
Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во времени и описывается функцией и при удельной норме процента, равной , процент начисляется непрерывно. Можно показать, что в этом случае дисконтированный доход за время вычисляется по формуле
Пример.Определить дисконтированный доход за три года при процентной ставке 8 %, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 10 млрд руб., и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 1 млрд руб.
Решение. Очевидно, что капиталовложения задаются функцией . Тогда дисконтированная сумма капиталовложений .
Интегрируя, получим млрд руб. Это означает, что для получения одинаковой наращенной суммы через три года ежегодные капиталовложения от 10 до 13 млрд руб. равносильны одновременным первоначальным вложениям 30,5 млрд руб. при той же, начисляемой непрерывно, процентной ставке.
Пусть известна функция , описывающая изменение затрат времени на изготовление изделия в зависимости от степени освоения производства, где – порядковый номер изделия в партии. Тогда среднее время , затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от до изделий вычисляется по теореме о среднем:
Что касается функции изменения затрат времени на изготовление изделий , то часто она имеет вид
,
где – затраты времени на первое изделие, – показатель производственного процесса.
Пример. Найти среднее время, затраченное на освоение одного изделия в период освоения от до изделий, полагая (мин), .
Решение. Получаем
мин.
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Вариант 1
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
14. .
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. , , .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 2
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. , , .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 3
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. , , .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 4
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. , .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба-Дугласа имеет вид .
Вариант 5
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. , .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 6
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. , .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 7
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 8
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. ; х = 1; х = 2.
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 9
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. , , , .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 10
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. , .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 11
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. , .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 12
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. , .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 13
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. , .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 14
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. , .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 15
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1-6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. , .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 16
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15.
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 17
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. , .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 18
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. , .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 19
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. , .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 20
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. , .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 21
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. , .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 22
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. , .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 23
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1-6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. , .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 24
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. , .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 25
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. , .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 26
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. , .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 27
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. , .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 28
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. у = х + 1; у = cos x; y = 0.
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 29
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. 8.
9. а) б)
10. а) б) в)
11. 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. у = х3; у = 1; х = 0.
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
Вариант 30
Вычислить неопределенные интегралы (в заданиях 1–6 результаты проверить дифференцированием):
1. . 4. .
2. . 5. .
3. . 6.
Вычислить неопределенные интегралы:
7. . 8. .
9. а) б)
10. а) б) в) .
11. . 12.
Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после
запятой:
13.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
14.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
15. , .
16. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба–Дугласа имеет вид .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Учебное пособие посвящено важному разделу математического анализа – интегральному исчислению функции одной переменной и включает в себя теоретический материал, примеры и задачи, упражнения для самостоятельного решения по курсу, предусмотренному программой подготовки бакалавров, обучающихся в ДВГУПС.
Представленный материал поможет студентам в овладении данного курса, а также в организации самостоятельной работы при выполнении расчётно-графических работ, при подготовке к зачетам и экзаменам.
Авторы надеются, что данное пособие поможет студентам при решении математических задач, профессиональных задач, а также будет способствовать формированию общекультурных и профессиональных компетенций.
В заключение отметим, что при изучении математики очень существенно решение задач. Еще Ньютон высказывал мнение, что эта сторона дела важнее, чем усвоение теории. Конечно, полностью с этим согласиться нельзя, но нет сомнения, что для будущего специалиста одно лишь теоретическое знакомство с материалом было бы бесполезно. Поэтому студенты должны сочетать изучение лекционного материала с решением задач из учебных и методических пособий по высшей математике.