Вычисление площади в полярных координатах, площадь криволинейного сектора

Рассмотрим фигуру, ограниченную сверху и снизу несколькими линиями, заданными уравнениями

  Рис. 4.6
Если фигура не является криволинейной трапецией (рис. 4.6), ее разбивают на части и находят площадь как сумму площадей отдельных частей. Итак, для того, чтобы найти ее площадь фигуру разбивают на части таким образом, чтобы верхняя граница состояла только из одной кривой и нижняя тоже только из одной кривой. Таким образом,

 

 

5. Рассмотрим фигуру, ограниченную осью и линией, заданной уравнением если функция непрерывна на отрезке и меняет на нем знак, то

 

  Рис. 4.7
.

Например (рис. 4.7),

 

 

 

  Рис. 4.8
6. Если фигура ограничена линиями , , , (рис. 4.8), то

 

.

 

7. Линия на плоскости задана параметрически:

 

Пусть данные уравнения определяют функцию тогда в формуле сделаем замену , , .

Получим формулу для вычисления площади в случае параметрического задания линии:

.

Пример.Найти площадь эллипса с полуосями а и b, уравнение которого задано параметрически:.

Решение. Нам задан эллипс с центром в начале координат с полуосями а и b. Можно найти площадь части эллипса, лежащей в первой четверти, тогда , , . Найдем

 

 

 

Таким образом, (кв. ед.).

 

 

Определение.Криволинейным сектором называется плоская фигура, ограниченная непрерывной кривой, заданной уравнением в полярных координатах , и двумя лучами и .

 

  Рис. 4.9       Рис. 4.10
Площадь криволинейного сектора (рис. 4.9) выражается формулой

 

 

 

Пример.Найти площадь лемнискаты Бернулли.(рис. 4.10).

Решение. Перейдем к полярным координатам:

 

 

Найдем область определения функции:

 

Фигура симметрична относительно начала координат, Найдем площадь заданной фигуры, лежащей в первой четверти, т. е. .

 

 

 

Итак, площадь данной фигуры равна (кв. ед.).

 

4.2. Вычисление объемов тел по известным площадям
поперечных сечений

Поставим задачу: найти объем тела , заключенного между плоскостями и (рис. 4.11), если известна площадь его сечения плоскостью, проводимой перпендикулярно оси при любом (такое сечение называют поперечным), т. е. эта площадь является известной функцией причем является непрерывной на .

Для решения задачи сделаем следующее:

1) возьмем произвольную точку и проведем плоскость ;

2) дадим xi приращение Dxi ¹ 0, проведем плоскость x = xi + Dxi;

3) из данного тела этими плоскостями вырезан слой, объем которого приближенно равен объему цилиндра с площадью основания и высотой , т. е. ;

4) объем тела приближенно равен сумме объемов :

;

5) точное значение объема тела найдем, переходя к пределу при , который существует, так как непрерывна, и равен интегралу от по отрезку :

.

 

 

Рис. 4.11

 

  Рис. 4.12
Таким образом, мы получили формулу для вычисления объема:

 

где – площадь поперечного сечения.

Используя полученную формулу, вычислим объем тела вращения.

Пусть криволинейная трапеция, ограниченная линиями у = f (x) (f (x) непрерывна на ), , , , вращается вокруг оси Ох (рис. 4.12), найдем объем полученного тела.

Поперечным сечением здесь является круг, его площадь равна:

.

  Рис. 4.13
Тогда объем тела вращения вычисляется по формуле

.

Если криволинейная трапеция, ограниченная линиями ( непрерывна на ), , , , вращается вокруг оси Оу (рис. 4.13), получаем другую формулу для вычисления объема тела вращения:

 

.

 

Пример.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями: , , .

  Рис. 4.14
Решение. Построим данную фигуру
(рис. 4.14).

Вычислим искомый объём:

 

= (куб. ед.).

Если фигура ограничена снизу кривой , сверху – и прямыми , , то объем тела, образованного вращением такой фигуры вокруг оси , вычисляется по формуле

 

.

 

  Рис. 4.15
Пример.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями: , .

Решение. Построим данную фигуру
(рис. 4.15).

Кривые и пересекаются при х = 4.

 

 

(куб. ед.).