Вычисление площадей плоских фигур

Несобственные интегралы от разрывных функций

Пусть функция непрерывна при всех из , а в точке имеет разрыв второго рода. Пусть сколь угодно малая величина. Тогда на промежутке функция будет непрерывной и можно найти интеграл .

Устремим к нулю и рассмотрим предел .

Этот предел называется несобственным интегралом второго рода; записывается это так:

.

Если предел существует и конечен, то интеграл сходится, если предел не существует, то интеграл расходится.

Аналогично определяется интеграл, если функция имеет разрыв на левом конце интервала :

= .

Если имеет разрыв в точке , лежащей внутри промежутка , то

.

Пример.Вычислить несобственные интегралы:

1. . 2. . 3. .

Решение

1. Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке . Имеем:

Интеграл расходится.

2. Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке . Имеем:

Интеграл сходится.

3. Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке . Имеем:

Интеграл расходится.

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить неопределенные интегралы:

1) 5)

2) 6)

3) 7)

4) 8)

4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Тогда площадь фигуры, ограниченной линиями на численно равна интегралу , т. е. если , то .

Пример.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , .

Решение. Сделаем чертеж (рис. 4.2).

Из рис. 4.2 видно, что верхней границей данной криволинейной трапеции является дуга параболы .Тогда по формуле о площади криволинейной трапеции полу­чаем:

(кв. ед.).

2. Пусть функцияу = f (x)неположительна и непрерывна на отрезке

Отражая кривую относительно оси абсцисс, получаем кривую с уравнением . Функция уже неотрицательна на , а площадь под этой кривой на из соображений симметрии равна площади , т. е. если , то

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , .

Из рис. 4.3 видно, что искомая площадь криволинейного треугольника ОАВ может рассматриваться как площадь над кривой ОАВ на отрезке . Однако указанная кривая не задается одним уравнением. Поэтому для нахождения разобьем криволинейный треугольник ОАВ на части, проецируя точку А излома на ось абсцисс. Тогда . Абсциссы точек О, А, В задают пределы интегрирования. Координаты точек О, А, В равны (0,0), (1,–1), (2,0). Вычислим площади фигур и

,

Окончательно площадь фигуры равна (кв. ед.)

3. Пусть плоская фигура ограничена линиями , ,.

.

Пример.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение. Сделаем чертеж (рис. 4.5). Данная фигура ограничена снизу дугой параболы и сверху прямой у = х. Для того, чтобы установить пределы интегрирования, найдем точки пересечения параболы и прямой . То есть решим уравнение: .

(кв.ед.).