НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3.1. Несобственные интегралы
с бесконечными пределами интегрирования

В предыдущих подразделах, рассматривая определенные интегралы, мы подразумевали, что интервал интегрирования конечен, и подынтегральная функция на нем непрерывна. Но довольно часто возникает необходимость распространить определение определенного интеграла на случаи бесконечного интервала интегрирования и разрывной подынтегральной функции. Несобственные интегралы бывают двух видов.

Пусть функция непрерывна при всех значениях из интервала . Рассмотрим . На интервале функция непрерывна, и мы можем вычислить интеграл

.

Пусть .

Определение. Несобственным интегралом первого рода от функции называется предел интеграла при . Записывается это так:

.

Если предел существует и конечен, то интеграл сходится. Если предел не существует, то интеграл расходится.

Если первообразная функция для подынтегральной функции известна, то легко установить, сходится несобственный интеграл или нет. С помощью формулы Ньютона – Лейбница получаем

.

Вычислить несобственный интеграл – это значит найти число (точно так же, как в определенном интеграле), или доказать, что он расходится (например, получить в итоге бесконечность вместо числа).

Аналогично определяется несобственный интеграл на интервале :

.

Если функция определена и непрерывна на всей числовой оси, то можно рассматривать несобственный интеграл на интервале . Пусть для некоторого числа несобственные интегралы и сходятся. Тогда

.

При этом интеграл называется сходящимся. Если хотя бы один из интегралов, входящих в правую часть, расходится, то несобственный интеграл называется расходящимся. Введенное определение не зависит от выбора числа .

Сходящемуся несобственному интегралу можно придать определенный геометрический смысл. Он заключается в следующем: это площадь бесконечно длинной области , ограниченной сверху неотрицательной функцией , снизу осью , слева – прямой (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Сходящиеся интегралы соответствуют таким областям , площадь которых конечна (хотя сама область неограничена), а расходящиеся (в случае ) – неограниченным областям с бесконечной площадью. В случае, когда при , часто пишут формально:

однако нужно ясно понимать, что эта запись означает расходимость интеграла и отсутствие у него числового значения.

Само определение значения интеграла через предел интегралов по конечным, но увеличивающимся отрезкам означает исчерпание площади путем учёта все большей её части правый вертикальный отрезок, проведённый при , отодвигается всё дальше и дальше в бесконечность (рис. 3.2); в пределе будет учтена вся площадь под графиком .

Рис. 3.2

Если несобственный интеграл сходится, то будем говорить, что заштрихованная фигура на рис. 3.1 имеет площадь, равную этому интегралу. Если интеграл расходится, то говорить о площади фигуры нельзя.

Заметим, что на несобственные интегралы без всяких изменений переносятся простейшие свойства определенного интеграла, если только все интегралы сходятся.

Запишем два замечательных несобственных интеграла, которые встречаются в приложениях:

(интеграл Пуассона);

(интеграл Дирихле).

Пример.Вычислить несобственные интегралы:

1. . 2. . 3.

Решение

1. По определению имеем :

2. .

Интеграл расходится.

3.

не существует, следовательно, интеграл расходится.