Свойства определенного интеграла

Экономический смысл определенного интеграла

Пусть непрерывная функция задает производительность труда на некотором предприятии в момент времени

Найдем объем продукции, произведенной за весь промежуток времени .

Разобьем отрезок на части точками , величина равна длительности – го промежутка времени,

Обозначим объем продукции, произведенной за промежуток времени . Эта величина приближенно равна

,

где – некоторый момент времени из промежутка .

Вся произведенная продукция примерно равна сумме этих частей:

.

Это приближенное равенство будет тем точнее, чем меньше разбиение отрезка . Поэтому за точное значение продукции примем предел, к которому стремится сумма при неограниченном измельчении разбиения отрезка:

,

что, согласно определению определенного интеграла, равно:

.

Пример.Пусть производительность цеха в течение рабочего дня изменяется в соответствии с функцией (ден. ед./ч). Начало рабочего дня соответствует ч.

Тогда стоимость произведенной к моменту времени , ч, продукции (объем произведенной продукции в стоимостном выражении) задается функцией:

.

За всю смену рабочий произведет продукции на

Далее будем предполагать интегрируемость всех рассматриваемых функций на выделенных отрезках интегрирования.

Рассмотрим сначала свойства определенного интеграла, которые имеют аналоги в случае интеграла неопределенного.

Свойство 1.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е.

,

где a – некоторое число.

Доказательство.Представим интеграл, стоящий в левой части, как предел интегральной суммы и воспользуемся свойствами пределов. Тогда

.

Свойство 2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т. е.

Доказательство. Свойства 2 аналогично свойству 1.

Перейдем теперь к свойствам определенного интеграла, которые не имеют аналогов в случае неопределенного интеграла.

Свойство 3.Если нижний и верхний пределы интегрирования поменять местами, то интеграл изменит знак:

Доказательствоосновывается на определении определенного интеграла.

Свойство 4.Для любых трех чисел справедливо равенство

если только все три интеграла существуют.

Доказательство.Пусть и функция неотрицательна на . Согласно геометрическому смыслу определенного интеграла и , , где - площадь под кривой на отрезке .

Тога при сделанных предположениях доказываемое равенство утверждает наличие следующего соотношения: .

Если и функция неотрицательна на , то получим – площадь под кривой на отрезке .

Аналогично доказывается это свойство при любом другом расположении точек ,а также в случае отрицательности функции

Свойство 5.Если функция неотрицательна на отрезке , то .

Если функция неположительна на отрезке , то .

Доказательство.Рассмотрим случай на . Составим интегральную сумму для на : .

Здесь (функция неотрицательна по условию), . Следовательно, , а значит .

Доказательство в случае проводится аналогично.

Свойство 6.

Здесь отрезок интегрирования равен нулю, следовательно, и определенный интеграл тоже.

С геометрической точки зрения это означает, что если конец основания трапеции совместить с его началом, то трапеция превратится в прямоугольный отрезок – ординату f(a), площадь которого нужно считать равной нулю.

Свойство 7.Если для функций и на отрезке выполняется условие , то будет справедливым неравенство:

.

Доказательство.Рассмотрим функцию на отрезке . Проинтегрируем и применим свойство 5, тогда . Далее воспользуемся свойством 2: . Отсюда следует: .

Свойство 8(об оценке определенного интеграла). Значение определенного интеграла заключено между произведениями наименьшего и наибольшего значений подынтегральной функции на длину интервала интегрирования, т. е.

где и – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке : .

Доказательство.Для доказательства нам понадобится вычислить интеграл: .

Возьмем две функции и .

на отрезке неотрицательна, т. е.:

,

т. е. .

Аналогично получаем: .

Свойство 9(теорема о среднем). Если интегрируема на (где ), то на найдется такая точка : , что выполняется соотношение:

.

Из теоремы о среднем мы получили среднее значение непрерывной функции на отрезке :

.

Доказательство.Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее и наибольшее значения. Тогда

.

Число заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между и . Таким образом, существует точка , такая что

.

Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если непрерывна на отрезке , то существует точка такая, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием и высотой

2.4. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.
Формула Ньютона–Лейбница

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования и . Предположим, что нижний предел интегрирования постоянный, а верхний – переменный. Придавая верхнему пределу различные значения, будем получать соответствующие значения интеграла; следовательно, при рассматриваемом условии интеграл является функцией своего верхнего предела. Таким образом, записывают:

.

.

Геометрически функция представляет собой площадь заштрихованной криволинейной трапеции, если . При этом функция возрастающая, так как с ростом площадь криволинейной трапеции увеличивается (рис. 2.3).

Теорема 2.3.Производная определенного интеграла по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции при переменном верхнем пределе, т. е.

.

Из сформулированной теоремы вытекает, что является первообразной для функции . Тогда из теоремы о первообразной следует, что , где – какая-то первообразная функции . Итак,

Положим , получим . Отсюда , тогда

При , получим .

Так как обозначение переменной не играет роли, то получаем формулу

,

которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Из формулы Ньютона–Лейбница следует, что для вычисления определенного интеграла нужно найти первообразную подынтегральной функции и затем подставить пределы интегрирования:

.

Символ называется двойной подстановкой.

Пример. Найти определенные интегралы:

1. . 2. . 3. .

Решение

1.

.

2. .

3.

.

2.5. Замена переменной и интегрирование по частям
в определенном интеграле

Теорема 2.4. (о замене переменной). Если функция удовлетворяет условиям:

1) имеет непрерывную производную на отрезке ;

2) , ,

то для любой непрерывной на отрезке функции имеет место ра­венство:

.

Из теоремы следует, что, выполняя замену переменной в определенном интеграле, необходимо заменить и пределы интегрирования.

Пример. Вычислить определенные интегралы:

1. . 2.

Решение

1.

.

2.

.

Рассмотрим теперь, как выполняется интегрирование по частям в определенном интеграле.

Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке , тогда по правилу дифференцирования произведения получим:

.

Отсюда следует, что функция является первообразной для функции . А так как функция непрерывна на отрезке , то интеграл от нее существует, т. е. она интегрируема на этом отрезке, и по формуле Ньютона–Лейбница, имеем:

Итак, формула интегрирования по частям в определенном интеграле имеет вид:

.

Пример. Вычислить определенные интегралы:

1. . 2. .

Решение

1.

.

2.

.

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить неопределенные интегралы:

1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5) 10)