ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Обзор методов интегрирования

Обобщим методы интегрирования и представим их в виде таблицы.

 

№ п/п Вид интеграла Метод интегрирования
  Интегрирование с применением компенсирующего множителя, т.е.
  Интегрирование введением функции под дифференциал, т.е.
  Применение обобщенного второго табличного интеграла, т.е.
  Интегрирование с помощью формулы:  
  Замена переменной: подстановка
  Интегрирование по частям: подстановки
  Интегрирование по частям: подстановки
  Интегрирование по частям применяется дважды: в качестве множителя берется функция одного и того же типа: показательная или тригонометрическая
  Интегрирование по частям применяется дважды: подстановки
  Интегрирование простейшей дроби I типа:
    Интегрирование простейшей дроби II типа:
  Интегрирование простейшей дроби III типа: в выражении, стоящем в знаменателе, выделяют полный квадрат и применяют подстановку
  Рекуррентная формула:  
  Интегрирование простейшей дроби IV типа: в выражении, стоящем в знаменателе, выделяют полный квадрат, вводят новую переменную и применяют рекуррентную формулу
  – неправильная рациональная дробь В подынтегральной дроби выделяют целую часть:  
    – правильная рациональная дробь Подынтегральную дробь раскладывают на сумму простейших дробей: или
  Подстановка: , где
  , где – новая переменная, а – наименьшее общее кратное чисел
  Выделяется полный квадрат в подкоренном выражении и полученную в скобках сумму принимают за новую переменную
  Представить подынтегральное произведение в виде суммы, используя формулы:    
, где n и m – целые числа. n – нечетное положительное число, m – любое, применяется подстановка . m – нечетное положительное число, n – любое, применяется подстановка . и – четные положительные числа. В этом случае хороший результат дает применение формул:      
  Универсальная тригонометрическая подстановка:
  Подстановка:
  Подстановка:
  Подстановка:
  Подстановка:
  Подстановка:

 

 

2.1. Понятие определенного интеграла.
Площадь криволинейной трапеции

Пусть на отрезке задана неотрицательная функция , .

 

Определение.Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью , линией , с которой любая прямая, параллельная оси , пересекается не более, чем в одной точке, и прямыми и .

Поставим задачу:найти площадь криволинейной трапеции.

  Рис. 2.1     Рис. 2.2
Разобьем основание трапеции, от­ре­зок точками на отрезков, через них проведем прямые, параллельные оси . Таким образом трапеция будет состоять из вертикальных полосок (криволинейных трапеций) (рис. 2.1).

Рассмотрим одну такую полоску (рис. 2.2), основанием которой является отрезок и найдем ее площадь. На отрезке возьмем произвольную точку и найдем значение функции в этой точке: . Величина равна длине k-й части отрезка. Рассмотрим прямоугольник с высотой и основанием .

Площадь этого прямоугольника равна: .

Площадь прямоугольника приближенно равна площади рассматриваемой криволинейной полоски, которую мы обозначим , т. е.

 

 

Таким же образом поступим со всеми полосками, на которые мы разбили криволинейную трапецию. Тогда площадь криволинейной трапеции:

 

 

Это равенство будет тем точнее, чем меньше основания полосок. Обозначим называется рангом дробления, устремим к 0 . Тогда площадь криволинейной трапеции равна

 

,

где сумма вида называется интегральной суммой для функции на .

Таким образом, площадь криволинейной трапеции выражается как предел, к которому стремятся площади криволинейных полосок, если длины их оснований стремятся к нулю, а количество рассматриваемых криволинейных полосок неограниченно растет.

 

Определение.Предел интегральной суммы при стремлении , если он существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка и выбора точек , называется определенным интегралом от функции по промежутку , обозначается , а сама функция называется интегрируемой на отрезке , т. е.:

 

 

При этом число называется нижним пределом интервала, число – его верхним пределом; функция – подынтегральной функцией, выражение – подынтегральным выражением, а задача о нахождении – интегрированием функции на отрезке .

 

Теорема 2.1. Если функция непрерывна на то она интегрируема на этом промежутке.

 

Теорема 2.2. Если функция ограничена на и имеет на конечное число точек разрыва первого рода, то она интегрируема на .

 

Из рассмотренной выше задачи вытекает геометрический смысл определенного интеграла: равен площади криволинейной трапеции.

Замечание 1.Для определенного интеграла не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования, т. е.:

 

 

так как смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы.

Замечание 2.Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы – существенно различные понятия: в то время как представляет семейство функций, есть определенное число.