Интегралы от простейших рациональных дробей

Интегрирование дробно-рациональных функций

Как известно, функция , где – заданные числа, называется многочленом степени .

Определение.Отношение двух многочленов

называется дробно-рациональной функцией или рациональной дробью.

Если , то рациональная дробь называется правильной, если то рациональная дробь называется неправильной.

Из общей совокупности правильных дробей выделяют четыре специальных типа дробей, называемых простейшими.Простейшие дроби имеют вид:

1) – I тип;

2) – II тип;

3) – III тип;

4) – IV тип,

где квадратный трехчлен не имеет действительных корней .

Все остальные правильные дроби называются сложными.

Найдем интегралы от простейших дробей:

1)

2)

3)

При интегрировании дробей III и IV типов в выражении, стоящем в знаменателе, выделяют полный квадрат:

Тогда, применяя метод замены переменной, получим:

Полученную формулу нет необходимости запоминать, проще все элементарные преобразования выполнять в заданном интеграле.

Пример.Вычислить неопределенные интегралы:

1. . 2.

Решение

1. здесь интегрировалась дробь I типа.

2. интегрировалась дробь II типа.

Пример.Вычислить неопределенные интегралы:

1. . 2. . 3.

Решение. Во всех трех случаях квадратные трехчлены, стоящие в знаменателях, не имеют действительных корней (проверьте), следовательно, надо найти интегралы от простейших дробей III типа.

1.

2.

3.

Интегрирование простейших дробей III типа можно провести и другим методом: при в числителе дроби выделить производную знаменателя, затем перейти к двум интегралам, один из которых находится по формуле: а другой – по табличной формуле (20). Рассмотрим этот метод на примере 3.

4. .

При интегрировании простейших дробей четвертого типа при выделяют полный квадрат из квадратного трехчлена в знаменателе. Выделенный двучлен заменяют новой переменной « » и применяют рекуррентную формулу

Формула применяется раз и приводит в итоге интеграл к табличному интегралу 20.

При интегрировании дроби четвертого вида сначала в числителе выделяют производную от квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, затем переходят к двум интегралам, вычисление которых рассматривали выше.

Пример.Вычислить неопределенные интегралы:

1. . 2.

Решение

1. При нахождении интеграла применяем рекуррентную формулу, здесь :

2. Находим производную от квадратного трехчлена: выделим в числителе производную от трехчлена:

тогда

Рассмотрим интегралы отдельно:

Подставляя значения интегралов, получим:

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить неопределенные интегралы:

1) 2)

3) 5)

4)