Интегрирование по частям
Вычисление неопределенных интегралов с применением формулы
Если числитель подынтегральной функции является производной знаменателя, то интеграл равен логарифму абсолютной величины знаменателя.
Данная формула представляет собой обобщение табличного интеграла 3, если вместо переменной подставить дифференцируемую функцию .
Пример.Вычислить неопределенные интегралы:
1. . 2. . 3. . 4. .
Решение
1. .
2. .
3. .
4. .
Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислить неопределенные интегралы, результаты проверить дифференцированием:
1) 3)
2) 4)
5) 7)
6) 8)
2. Вычислить неопределенные интегралы:
1) 4)
2) 5)
3) 6)
1.5. Замена переменной в неопределенном интеграле
(метод подстановки)
Если интеграл не может быть вычислен непосредственно, то во многих случаях введением новой переменной интегрирования подынтегральное выражение может быть преобразовано к виду, интеграл от которого является табличным, или его можно преобразовать к табличному.
Пусть требуется вычислить интеграл , не являющийся табличным. Введем вместо новую переменную , связанную с зависимостью , где – дифференцируемая функция, для которой существует обратная функция. Тогда и будет иметь место формула:
,
которая называется формулой замены переменной.
Важно иметь ввиду, что дифференциал должен быть заменен на дифференциал новой переменной .
Пример.Вычислить неопределенные интегралы:
1. . 2. . 3. . 4. .
Решение
1. Можно заметить, что и множитель есть в подынтегральной функции. Поэтому подстановка упростит интеграл и приведет его к табличному.
Положим , тогда нам нужно найти дифференциал этой переменной, т. е. и получим:
,
где – произвольная постоянная. Сделаем обратную замену переменной:
2. Так как производная функции lnx совпадает с производной подкоренного выражения и равна , то удобно в качестве новой переменной выбрать именно его. После замены переменной вычисляем ее дифференциал. Таким образом,
3. Так как , то интеграл можно записать в виде
Замечая, что , сделаем следующую подстановку:
4. После замены найдем дифференциал новой переменной и выразим dx, тогда
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить неопределенные интегралы:
1)
Пусть функции и имеют непрерывные производные, найдем производную их произведения:
.
Проинтегрируем обе части равенства:
.
С учетом свойства 3 неопределенного интеграла имеем:
.
Кроме того,
Константу можно включить в неопределенные интегралы, входящие в это равенство, тогда:
После преобразований получим формулу интегрирования по частям:
Перечислим основные типы интегралов, вычисляемых этим методом, и укажем целесообразное разделение подынтегрального выражения на и .
1. ,
где – многочлен степени относительно ; a – произвольная постоянная. В интегралах такого типа рекомендуются обозначения:
В этих интегралах интегрирование по частям применяется столько раз, какова степень многочлена , т. е. раз.
Пример.Вычислить неопределенные интегралы:
1. . 2. . 3. .
Решение
2.
3.
При вычислении этого интеграла формулу интегрирования по частям надо применить еще раз:
2.
где – многочлен степени относительно ; a – произвольная постоянная. В интегралах такого типа рекомендуются обозначения:
Пример.Вычислить неопределенные интегралы:
1. . 2. .
Решение
1.
2.
3.
При интегрировании функций вида интегрирование по частям применяется дважды, в результате чего получается уравнение, из которого и находится исходный интеграл. Такие интегралы называются «круговыми» (циклическими). Причем в обоих случаях в качестве множителя берется функция одного и того же типа: показательная или тригонометрическая.
Пример.Вычислить неопределенные интегралы:
1. . 2.
Решение
1.
Получили уравнение относительно исходного интеграла:
Отсюда найдем интеграл:
2.
Получили уравнение относительно исходного интеграла:
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить неопределенные интегралы:
1) 6)
2) 7)
3) 8)
4) 9)
5)