Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ВВЕДЕНИЕ

Математика играет важную роль в естественно-научных, инженерно-техни­чес­ких и гуманитарных исследованиях. Она стала не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования и средством предельно четкой формулировки понятий и проблем. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую в системе фундаментальной подготовки современного экономиста.

Для более полной характеристики предмета высшей математики следует указать, что она изучает переменные величины не изолированно, а в их взаимной связи. Точным математическим понятием, выражающим такую взаимосвязь переменных, является понятие функции. Это основное и важнейшее понятие высшей математики. С ним школьники знакомятся в курсе алгебры, но систематически его изучает именно высшая математика в том разделе, который называется математическим анализом. Дифференциальное и интегральное исчисления представляют собой ветви этого раздела.

Предлагаемое пособие рассматривает интегральное исчисление функции одной переменной и состоит из двух разделов: «Неопределенный интеграл» и «Определенный интеграл». Каждый раздел разбит на подразделы, в которых изложен теоретический материал, подробно разобраны примеры. В конце подраздела приведены упражнения для самостоятельного решения. Такое изложение материала позволит студентам организовать самостоятельную работу при изучении курса, овладеть основными методами математического анализа и впоследствии применить их для решения профессиональных задач.

Данное пособие содержит варианты индивидуальных заданий для самостоятельного решения. Изучив теоретический материал по рассматриваемой теме, студентам необходимо выполнить задания в сроки, указанные в учебном графике.

Учебное пособие направлено на формирование у студентов, изучающих дисциплину «Математический анализ», общекультурных (ОК) и/или профессиональных компетенций (ПК) в соответствии с действующими в ДВГУПС основными образовательными программами подготовки бакалавров:

ОК–15, ПК–3 по направлению подготовки бакалавров 38.03.02 «Менеджмент»;

ОК–1, ПК–2, ПК–5 по направлению подготовки бакалавров 09.03.03 «Прикладная информатика»;

ПК–2, ПК–5 по направлению подготовки бакалавров 38.03.01 «Экономика».

 

 

В дифференциальном исчислении основной задачей является нахождение от заданной функции её производной или дифференциала

Интегральное исчисление решает обратную задачу – нахождение самой функции по её производной или дифференциалу

 

Определение. Функция называется первообразной функцией для функции на заданном промежутке, если в каждой внутренней точке этого промежутка справедливо равенство или

 

Пример.Пусть имеем функцию Функция является первообразной для , так как Но функция тоже является первообразной функции так как и вообще – любая функция (где произвольная постоянная) есть первообразная для Таким образом данная функция имеет множество первообразных, причем можно показать, что любые две из них отличаются друг от друга на постоянное число.

 

Теорема 1.1.(о двух первообразных). Если и две первообразные функции на заданном промежутке, то разность между ними равна постоянному числу.

Доказательство. Покажем, что любые две первообразные от функции отличаются друг от друга лишь постоянным слагаемым.

Пусть F1(х) и F2(х) – две первообразные от , тождественно не равные между собой. Имеем:

 

Вычитая одно равенство из другого, получим т. е. Но если производная от некоторой функции (в нашем случае от ) тождественно равна нулю, то сама функция есть постоянная, следовательно, (где – вполне определенная постоянная), что и требовалось доказать.

Таким образом, выражение , где некоторая первообразная от , с – произвольная постоянная, охватывает все возможные первообразные от . Придавая различные значения мы будем получать различные первообразные.

 

Определение.Множество всех первообразных для функции на заданном промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается

Таким образом, по определению имеем

 

где ò – знак интеграла; подынтегральная функция; подынтегральное выражение; х – независимая переменная; некоторая первообразная; с – произвольная постоянная.

Процесс нахождения первообразной для заданной функции называется интегрированием. Очевидно, что действия дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными. То есть правильность интегрирования всегда можно проверить дифференцированием результата.

Геометрический смысл неопределенного интеграла.График первообразной называют интегральной кривой. В системе координат графики всех первообразных от данной функции представляют семейство кривых, зависящих от величины постоянной и получаемых одна из другой путем параллельного сдвига вдоль оси Для примера, рассмотренного выше, имеем:

 

 

Семейство первообразных геометрически интерпретируется совокупностью парабол.

 

Теорема 1.2. (о существовании неопределенного интеграла). Если функция непрерывна на заданном промежутке, то для этой функции существует неопределенный интеграл на этом же промежутке.

Найти неопределенный интеграл от функции – это значит найти все первообразные от неё (для этого достаточно указать одну из них). Поэтому и говорят неопределенное интегрирование, так как при этом не указывается, какая именно из первообразных имеется в виду.