Уравнение Бернулли.

 

Рассмотрим трубку тока малого сечения (рис. 1). Жидкость, выделенного объема, переместится из положении 1 в положение 2. Так как течение стационарное, то никаких энергетических изменений с жидкостью не произойдёт. Изменение энергии (потенциальной и кинетической) жидкости при перемещении объёма от положения 1 к 2 равно работе, которую необходимо совершить над жидкостью для перемещения выделенного объёма из положения 1 в положение 2. Считая объёмы цилиндрическими, можно записать:

V=S1l1=S2l2 (2)

 

Если скорость жидкости в пределах каждого заштрихованного объёма одинакова (равна v1 и v2 для положений 1 и 2 соответственно), то изменение кинетической энергии жидкости равно:

 

, (3)

 

так как m=rS1l1=rS2l2, где r - плотность жидкости.

Вычислим работу внешних сил, действующих на жидкость. Силы со стороны соседних трубок тока нормальны к поверхности рассматриваемой трубки и работы не совершают. Работа сил, оказывающих давления р1 и р2 на торцы объёма 1 - 2 при его перемещении,

 

 
 

 

 


Рис. 1. Схема трубки тока жидкости для вывода формулы Бернулли.

 

 

AР = F1 l1 - F2 l2 = p1S1 l1 - p2S2 l2. (4)

 

Работа силы тяжести:

 

АТ = mgh1 - mgh2 = rS1 l1gh1 - rS2 l2gh2. (5)

 

Согласно закону сохранения энергии

 

DEk= AР+ АТ,

 

(rS2l2V22 - rS1l1V12) = p1S1l1 - p2S2l2 + rS1l1gh1 - rS2l2gh2 (6)

 

откуда сокращая на S1l1 = S2l2 и перегруппировывая слагаемые, имеем:

 

 

Так как выбор сечения трубки произволен, то индексы можно опустить:

. (7)

 

- это уравнение Бернулли.

Слагаемые, входящие в уравнение Бернулли имеют размерность и смысл давления. Давление р называют статическим; оно не связано с движением жидкости и может быть измерено, например, манометром, перемещающимся вместе с жидкостью.

Давление называют динамическим; оно обусловлено движением жидкости и проявляется при ее торможении. Сумма статического и динамического давлений есть полное давление:

рП = р + .

Давление rgh - весовое. В состоянии невесомости весовое давление отсутствует, с увеличением перегрузок оно возрастает.

В различных точках линии тока идеальной жидкости сумма статического, динамического и весового давлений одинакова.

Рассмотрим некоторые частные случаи, вытекающие из уравнения Бернулли.

 

1)Наклонная трубка тока постоянного сечения.

V = const, тогда p1 + rgh1 = p2 + rh2g или p2 - p1 = rg(h1 - h2),

Dp = rgDh.

В этом случае, как и в гидростатистике, разность давлений обусловлена разностью весов соответствующих столбов жидкости.

 

2)Горизонтальная трубка тока переменного сечения.

Всасывающее действие струи.

Так как h1 = h2 (рис. 2) , то

 

.

 

Полное давление в разных сечениях горизонтальной трубки тока одинаково. В более узких местах S2 < S1, V2 > V1, p2 < p1.

 

 
 

 


Рис. 2.

Можно сделать столь узкое сечение трубки, что вследствие малого давления (ниже атмосферного) в это сечение будет засасываться воздух или жидкость (так называемое всасывающее действие струи). Это явление используют в водоструйных насосах, ингаляторах и пульверизаторах.

 

3) Измерение скорости жидкости. Трубка Пито.

Выберем в движущемся потоке жидкости точки 1 и 2, лежащие на одной линии тока (рис. 3).

 

Рис. 3

 

Так как трубка горизонтальная, а V2 = 0, то на основании (7) запишем:

 

, откуда .

 

Трубку 2, изображенную на рисунке называют трубкой Пито, по высоте h2 столба жидкости в которой измеряют полное давление р2 .

Статическое давление р1 движущейся жидкости определяют при помощи трубки 1 по высоте h1 столба.

 

4) Закупорка артерии.

Образование атеросклеротической бляшки в артерии диаметром d1 вызывает сужение просвета артерии до диаметра d2 (рис.4).

Пусть артерия расположена горизонтально.

 

 

 


Течение крови по артерии будет происходить до того момента, пока статическое давление Р2 в месте образования атеросклеротической бляшки будет превышать наружное давление на сосуд Р0 (его можно считать приблизительно равным атмосферному). То есть, кровоток возможен при условии:

 

Р2 - Р0 ³ 0. (8)

 

Это реализуется, если d2³ dmin.

Запишем уравнение Бернулли и условие неразрывности струи для нашего случая:

 

(9)

 

Откуда (10)

 

Для сонной артерии: (нормальные условия) средний диаметр d1 = 1 cм, скорость крови v1 = 0,2 м/с, плотность крови r = 1,05 × 103 кг/м3, разница давлений Р1 - Р0 = 100 мм.рт.ст. = 1,33 × 104 Па  

 

Вычисленный по формуле 10 минимальный диаметр сонной артерии равен dmin » 2 мм.

Если диаметр сужения станет меньше dmin, тогда под действием внешнего давления Р0 просвет сосуда в месте расположения атеросклеротической бляшки закроется и кровоток полностью остановится. Однако, в организме как в любой сложной системе существуют компенсационные механизмы. При сужении артерии сердце начинает работать в более напряженном режиме, в результате чего давление Р1 в артерии начнет возрастать, и кровь с усилием протекает через сужение. С помощью фонендоскопа можно услышать прерывистый шум во время работы сердца, свидетельствующий о нарушении нормального кровотока.

 

5) Разрыв аневризмы.

При некоторых патологиях наблюдается локальное снижение прочности и упругости кровеносных сосудов. Как следствие этого на некотором участке кровеносного сосуда его деформация под действием пульсирующего кровотока становится необратимой, и возникает вздутие сосуда (аневризма).

Скорость кровотока в месте развития аневризмы по условию неразрывности струи будет меньше, чем скорость кровотока в его недеформированной части. Согласно уравнению Бернулли, статическое давление в месте вздутия будет больше статического давления на участках сосуда нормального сечения. Нагрузка на расширенную часть сосуда увеличится, и возникшая аневризма под действием повышенного давления будет иметь тенденцию к расширению. В результате возможен разрыв аневризмы.

 

Вопрос 3. 14 минут.