Контрольні запитання

1. Розповісти про пристрій нівеліра Н3.

2. Розповісти про перевірки нівеліра.

3. У чому полягає головна умова нівеліра?

4. Перелічити прилади, що входять у комплект для технічного нівелювання.

5. Який порядок спостережень на станції по програмі технічного нівелювання?

6. Для чого виконується й у чому полягає посторінковий контроль?

7. Який порядок дій при установці нівелірів у робоче положення?

8. Які способи контролю відліків по рейках застосовують при геометричному нівелюванні?

9. Назвати типи нівелірних рейок і пояснити їх будову.

10. Як здійснюється контроль відліків на станції нівеліра?

11. Як контролюються перевищення між двома пікетами та на всьому маршруті?

12. Як погоджуються перевищення для різних видів маршрутів?

13. Як обчислити абсолютні оцінки пікетів на трасі нівелювання?

14. Чим відрізняються тригонометричне від геометричного нівелювання?

15. У чому переваги й недоліки мензульної зйомки?

16.Планові і планово-висотні зйомки малої точності?

3 КОРОТКІ ВІДОМОСТІ ПРО ТЕОРІЮ ПОХИБОК ГЕОДЕЗИЧНИХ ВИМІРЮВАНЬ.

3.1Основи теорії похибок вимірів

Основними завданнями теорії похибок є:

- вивчення видів і властивостей похибок вимірів;

- встановлення критеріїв для оцінки точності результатів вимірів;

- з ряду вимірів однієї і тієї ж величини отримати найбільш надійне значення і оцінити його;

- оцінка точності функції виміряних величин.

Виміряти величину- означає знайти відношення цієї величини до іншої однорідної їй величині, прийнятої за одиницю виміру. В результаті виміру отриманому числу дається назва, відповідна назві одиниці виміру.

Результати вимірів називають також виміряними величинами або коротко просто вимірами.

Значення величини можна отримати безпосередньо шляхом накладення одиниці вимірів на вимірювану величину (або навпаки). Такі виміри називають прямими, або безпосередніми. Приклади таких вимірів - вимір на плані ліній циркулем, кутів транспортиром.

В деяких випадках значення величини можна отримати іншим способом. Наприклад, якщо виміряти два кути трикутника і отримати їх значення - α і β, то третій кут γ можна обчислити за відомою формулою

γ = 180- α-β. (3.1)

В даному прикладі значення величини отримане не прямо, а побічно, за допомогою обчислення на підставі математичної залежності між визначуваною величиною і безпосередньо виміряними величинами. Такі (обчислені) значення називають непрямими, або посередніми вимірами.

Для контролю і підвищення точності остаточного результату в геодезичній практиці одну і ту ж величину вимірюють не менше двох разів.

Оскільки для визначення значення величини достатньо одного виміру, то при n вимірах однієї і тієї ж величини всі її виміри, окрім одного (тобто п-1 вимірів), називають надлишковими, або додатковими.

Окрім значення величини, отриманого з вимірів, важливо знати точність цих вимірів.

Точність вимірів залежить від точності приладів, якими виконуються виміри, і визначається умовами, в яких вони виконуються.

Виміри, отримані в однакових умовах, мають однакову точність. Умови вважаються однаковими, якщо виміри проведені одним і тим же приладом (або приладами однієї точності), однією і тією ж особою або особами з однаковим досвідом, одними і тими ж методами і за однакових зовнішніх умов.

Виміри, отримані з рівною точністю, називаються рівноточними,в іншому разі вони називаються нерівноточними.

3.2Помилки вимірів і їх види

Виміряти величину абсолютно точно неможливо: як би ретельно не проводилися виміри, результати їх майже завжди відрізняються від точного (або істинного) значення величини. Тільки випадково може показатися, що виміряне значення в точності збігається з істинним значенням величини.

Відхилення результату виміру величини від її точного значення називається істинною похибкою виміру і виражається формулою

Δ=l -X,(3.2)

де Δ − істинна похибка виміру, l - результат виміру

Х - точне (істинне) значення величини.

Про наявність похибок вимірів можна судити хоч би з того факту, що повторні виміри однієї і тієї ж величини дають, як правило, різні значення. Причини похибок вимірів - недосконалість органів чуття людини, неточність вимірювальних інструментів, вплив зовнішніх умов і ін.

Помилка вимірівє результатом спільної дії декількох різних причин, тому її можна розглядати як алгебраїчну суму, в якій кожен доданок є наслідком впливу будь - якого одного фактора.

Δ = Δ1 + Δ2 + Δ3 + ... +Δn(3.3)

До похибок вимірів відносяться і грубі похибки, тобто промахи і прорахунки, причина виникнення яких - неуважність виконавця. Грубі похибки можуть бути виявлені контрольними вимірами. Результати вимірів, що містять грубі помилки, замінюються новими.

По відмінності у властивостях похибки ділять на систематичні і випадкові.

Систематичніпохибки це в основному такі похибки, які при повторних вимірах однієї і тієї ж величини або при вимірі однорідних величин з'являються з одним і тим же знаком. Наприклад, якщо при вимірі кутів великого числа трикутників вся неув'язка виявилася від`ємною, то можна бути упевненим, що виміряні кути містять одну і ту ж систематичну похибку або декілька таких похибок.

Систематичні похибки бувають постійні і змінні.

Прикладом постійної похибки може служити похибка в результатах виміру довжини лінії із-за неточного визначення довжини мірної стрічки.

До змінних систематичних похибок в результатах виміру однієї і тієї ж лінії мірною стрічкою відносяться такі похибки: через прогин стрічки внаслідок нерівностей ґрунту, через провисання стрічки, через відхилення стрічки від створу вимірюваної лінії.

Перелічені систематичні похибки виникають з різних причин. Одні з них залежать від недосконалості або неточного юстирування мірного інструменту (інструментальні похибки), інші - від стану зовнішнього середовища (похибки середовища або зовнішні похибки), від спостерігача (особисті похибки).

Випадковиминазивають похибки, не пов'язані функціональною залежністю з якими-небудь чинниками і математичні сподівання яких дорівнюють нулю.

Математичним сподіванням похибки називається сума добутків можливих значень похибок на відповідні ймовірності, тобто

М(Δ) = Δ1Ρ1 + Δ2Ρ2 + ... + ΔnРn, (3.4)

де Δ1, Δ2 , ..., Δn- різні значення похибки, що виникає за даних умов вимірів,

а Р1, Р2 ..., Рn - відповідна їм ймовірність.

Ймовірністюназивається величина, постійна для конкретних умов вимірів, до яких прагне частота появи похибок.

Під частотою появи похибки розуміється відношення числа похибок однакового розміру до всіх похибок в даному ряду і визначається за формулою

q = k/n,( 3.5 )

де k - число похибок однакового розміру, n - спільне число похибок у ряді вимірів.

Якщо ймовірності невідомі, то, замінюючи їх у формулі (3.4) відповідними їм частотами, отримаємо наближену рівність

М(Δ) ≈ Δ1q1 + Δ2q2 + ... +Δnqn. (3.6)

Відсутність функціональної залежності похибки від будь-якого чинника виражається в тому, що поява похибки в ряду в тій послідовності, яка має місце у кожному конкретному випадку, не підлягає ніякій видимій закономірності; іншими словами, знак і розмір похибки в ряду не залежить від знаку і розміру решти похибок отриманого ряду вимірів.

Рівність нулю математичного сподівання похибки виміру якої-небудь величини практично виявляється в тому, що при необмеженому збільшенні числа вимірів цієї величини середнє арифметичне з отриманих значень похибки має тенденцію прямувати до нуля.

Випадкові похибки вимірів мають наступні властивості:

- додатні похибки зустрічаються приблизно так само часто, як і рівні їм по абсолютній величині від’ємні похибки;

- чим більше похибка по абсолютній величині, тим рідше вона зустрічається;

- абсолютна величина похибки не перевершує певної межі;

- середнє арифметичне з похибок при нескінченному збільшенні кількості вимірів в ряду має тенденцію наближатися до нуля.

3.3Оцінка точності нерівноточних вимірів

Виміри бувають рівноточні і нерівно точні.

Наприклад, один і той же кут можна виміряти точним або технічним теодолітом, і результати таких вимірів будуть нерівноточними. Або один і той же кут можна виміряти різною кількістю прийомів; результати теж будуть нерівноточними.

Зрозуміло, що середні квадратичні похибки нерівноточних вимірів будуть неоднакові. З досвіду відомо, що вимір, виконаний з більшою точністю (з меншою помилкою), заслуговує на більшу довіру.

Вага виміру - це умовне число, що характеризує надійність виміру, ступінь його довіри; вага позначається буквою р. Значення ваги виміру обчислюють за формулою:

p = k/m2 (3.7)

де k - це довільне додатне число, яке має бути одним і тим же при визначенні ваги всіх вимірів, що беруть участь в розв’язанні задачі.

Таким чином, вага виміру є величина, обернено пропорційна квадрату середній квадратичній помилці цього виміру.

3.4Приклади практичного додатка теорії похибок

3.4.1 Точність положення контурних точок на планах (картах)

Використання різних приладів і технологічних процесів, вживаних при зйомках, приводить до нерівноточності планів різних видів зйомки. Проте при правильному проведенні зйомок ряд елементів, складових технологічного процесу того або іншого виду зйомки, має похибки графічної точності, наприклад, похибки нанесення точок і ліній на план, побудови кутів на плані і ін.

Середню квадратичну помилку визначення контуру на плані (карті) m_t можна отримати за відомою формулою

(3.8)

де m₁= m₂ = ... = т_n = 0.1 мм (графічна точність визначення положення точки на плані); при n = 16 m = 0.4 мм, що складає похибку 4 м при зйомках масштабу 1:10 000.

3.4.2 Точність зображення ліній на плані

Для отримання залежності похибки відстані між точками від похибки їх положення, уявимо, що кожна з кінцевих точок визначається координатами X₁ і Y₁; X₂ і Y₂ з середніми квадратичними помилками mx₁ і my₁, тх₂ і тy₂.

s₂=(X₂-X₁)*2 + (Y₂-У₁)*2. (3.9)

Після диференціювання функції (3.9) шляхом нескладних математичних перетворень і переходу до середньої квадратичної похибки, при

mt₁=mt₂=mt отримуємо m_s=mt (3.10)

тобто, середня квадратична помилка відстані між точками на плані дорівнює середній квадратичній помилці положення точки.

Середня квадратична похибка визначення відстані між точками на плані (карті) за допомогою циркуля-вимірника і масштабної лінійки з урахуванням точності плану mtвизначається за формулою

(3.11)

При m_t = 0.4 ммі т_вим = 0.08 мм m_so = 0.41 мм, тобто точність виміру відстаней між точками за планом визначається, головним чином, точністю плану.

3.4.3 Точність напрямів і кутів, зображених на плані (карті)

Точність напряму характеризується дирекційним кутом (азимутом) лінії на плані і залежить від похибок положення кінцевих точок цієї лінії.

Дирекційний кут лінії між точками 1 і 2 визначається за формулою

tg a = (у₂ - y₁)/(x₂ - x₁)·( 3.12 )

Після диференціювання виразу (3.12) і заміни диференціалів середніми квадратичними похибками маємо

при mt₁=mt₂=mt буде ma = mt /S (3.13)

А це означає, що середня квадратична помилка дирекційного кута збільшується із зменшенням відстані між точками.

3.4.4 Оцінка точності кутових вимірів

На точність вимірів кутів (і горизонтальних, і вертикальних) мають вплив як зовнішні умови, так і похибки власно вимірів. Похибки, зумовлені впливом зовнішньої середовища, як відомо, можна звести до мінімуму. Тоді точність вимірів кута визначатиметься тільки похибками власно вимірювання.

У теодолітних ходах горизонтальний кут βвимірюється повним прийомом, що складається з двох напівприйомів, - вимір при "круг ліво" і при "круг право" і дорівнює середньому βсерз двох вимірів:

β_L=L₂-L₁, β_R=R₂=R₁;

βсер = (β_L + β_R)/2 = 0.5(L₂ -L₁ + L₂- R₁) (3.14)

де L₁, L₂, R₁, R₂ − відліки по горизонтальному кругу при "круг ліво" (L) і "круг право" (R) на 1 і 2 напрями теодолітного ходу.

При рівноточних вимірах mL₁ = mL₂ = mR₁ = mR₂ = тн , де тн - середня квадратична похибка напряму.

Після диференціювання функції і переходу до середніх квадратичних похибок маємо

mβсер = mн .