Визначення площі топографічної поверхні.

1.8.1 Визначення площі контурів.

Обчислення площ за результатами вимірів на місцевості дає більш високу точність. Залежно від розміру та форми ділянок і бажаної точності, площі можна визначати трьома способами: 1) аналітичним: 2) графічним; 3) механічним, які можна застосовувати в "чистому " вигляді або у комбінації їх між собою.

Аналітичний спосіб.Обчислення площ за координатами вершин полігону застосовується коли полігон має складну форму багатокутника, границі якого прямолінійні і відомі координати його вершин. Для виведення відповідних формул візьмемо простий замкнений полігон у вигляді трикутника ABC, координати вершин якого відомі.

В загальному випадку це рівняння виразиться такою формулою:

2S = ΣX_n^.(Y _n+1-Y _n-1) (1.3)

і читається так: подвійна площа багатокутника дорівнює сумі послідовних добутків абсцис (іксів) на різницю ординат (ігреків) наступної та попередньої по відношення до абсциси.

Якщо праву частину рівняння згрупувати по Y (ігреках), то формула прийме вигляд:

2S = ΣY_n.(X _n-1-X _n+1) (1.4)

і читається так: подвійна площа багатокутника дорівнює сумі послідовних добутків ординат (ігреків) на різницю абсцис (іксів) попередньої і наступної по відношення до ординати.

Звичайно результати обчислення площі по обох формулах мають бути однаковими. Цей спосіб є найбільш точним, бо помилка у визначенні площі залежить тільки від помилок вимірювань на місцевості.

Наближено вважається, що відносна помилка визначення площі дорівнює подвійній відносній помилці вимірювання ліній, наприклад, для середніх умов вимірювання ліній мірною стрічкою відносна помилка дорівнює 1:2 000, тоді відносна помилка визначення площі буде 1:1 000.

Основний недолік способу - складність обчислень. Тому в сучасних умовах для визначення площ полігонів, особливо з великою кількістю вершин, застосовують комп'ютери, в пам'ять яких занесено формули. Оператори вводять у комп'ютер координати точок (вершин полігона) і за лічені хвилини дістають площу полігона, із занесенням результатів у спеціальну відомість.

Графічний спосіб. Цим способом площі обчислюють за результатами вимірів ділянок на місцевості, якщо границі їх прямолінійні і фігура ділянки має просту геометричну форму (трикутника, прямокутника, трапеції тощо). Підставляючи величини основ, висот та інших вимірів у формули відомі з геометрії та тригонометрії знаходять їх площу.

Точність визначення площ графічним способом залежить від точності вимірювання ліній на плані. Відомо, що відрізки прямої вимірюються на плані з точністю 0.1 мм незалежно від довжини ліній. Тому відносна помилка при вимірюванні коротких ліній буде більшою, ніж при вимірювання довгих ліній, отже, фігури, на які поділяється полігон, повинні бути по можливості більшими і не дуже витягнутими, щоб основа і висота фігури були приблизно однаковими, а план - у крупнішому масштабі. При цьому бажано в розрахунках у першу чергу використовувати лінії, довжина яких виміряна безпосередньо на місцевості. Для того, щоб уникнути грубих помилок і підвищити точність визначення площі, лінії вимірюють двічі з допустимою похибкою 1/200.

Графічний спосіб застосовують також для визначення площі витягнутих контурів (доріг, каналів, невеликих річок).

Загальне правило для графічного способу таке: чим крупнішим є масштаб плану· (карти), тим точніше визначається площа. До графічного способу відносять також визначення площ палетками.

Палетка - це сітка квадратів із стороною 0,2 , 0,4, 0,5 або 1 см, накреслена на прозорому матеріалі (технічній фотоплівці, органічному склі, восківці), або сітка паралельних ліній накреслених на тому ж матеріалі через однакові відстані одна від одної (0,2, 0,4, 0,5 або 1 см).

Палетки використовують при визначенні площі ділянок, які мають криволінійні контури: невеликі розміри на плані: до 2 см² для квадратної палетки і біля 10 см² для палетки з паралельними лініями.

Квадратну палетку накладають на контур ділянки і підраховують кількість повних квадратів, що вміщуються в контурі. Із неповних квадратів, розміщених на периферії контуру на око складають цілі квадрати і визначають загальну кількість квадратів.

Потім обчислюють площу одного квадрату у квадратних метрах (або гектарах) за масштабом плану. Добуток площі одного квадрату на кількість їх у даному контурі дасть площу всієї ділянки.

Визначення площ квадратною палеткою проводиться з відносною помилкою від 1/50 до 1/100 вимірювальної величини.

Палетка з паралельними сторонами - це сітка паралельних ліній, відстань між якими (h) однакова. Для визначення площі палетку накладають на контур ділянки. Фігуру кожної ділянки, обмеженої двома сусідніми паралельними лініями, умовно приймають за трапецію, площу якої можна визначити через середню лінію (l) і висоту (h).

Площа першої трапеції буде

S₁ =l · h, другої S₂ = l₂ · h, третьої S₃ = l₃ · h і т. д. ,

"n-ої" трапеції S_n = l_n · h.

Загальна площа контуру буде дорівнювати сумі площ трапецій, тобто:

S = S₁ + S₂ + S₃ + ... + S_n.

Підставивши значення площі кожної трапеції одержимо:

S =l₁*h + l₂*h + l₃*h+... + l_n*h

Винесемо h за дужки і дістанемо:

S = h(l₁ + l₂ +l₃ + ... + l_n)

Отже, для обчислення площі ділянки за допомогою палетки з паралельними лініями, треба знайти сумарну довжину середніх ліній у сантиметрах. За масштабом перевести її у метри і помножити на відстань між двома сусідніми паралельними лініями (h) також переведену у метри.

Довжини середніх ліній вимірюють циркулем-вимірювачем. Для прискорення і полегшення визначення площі під палеткою розміщують шкалу - графіки лінійних масштабів площ. Ними користуються як звичайним лінійним масштабом. На шкали потрібного масштабу циркулем-вимірювачем відкладають сумарну довжину середніх ліній і на масштабі читають площу даної ділянки відразу у гектарах.

Механічний спосіб визначення площ.При цьому способі застосовують спеціальний прилад - планіметр.

Це механічний прилад, який дає можливість шляхом обводу контуру фігури будь-якої форми визначити її площу. Планіметри бувають лінійні і полярні.

В наш час найбільш поширеними є полярні планіметри, які бувають з однією або двома каретками.

Однокаретковий полярний планіметр складається з полюсного і обвідного важелів та каретки (рис. 1.15). На каретці змонтовано відліковий механізм: лічильний ролик з барабаном, який має шкалу на 100 поділок і циферблат з 10 поділками. Лічильний ролик, перемішуючись по плану (карті) показує кількість поділок, пройдених ним під час обводу контуру фігури. Кількість повних обертів ролика відраховують по циферблату, а його частин - за допомогою верньєра.

Полюсний важіль (1) представляє собою металевий брусок квадратного перерізу на одному кінці якого прикріплено тягарець - полюс (2), в центрі нижньої частини якого уставлено голку. За допомогою голки полюс закріплюють на плані (карті). Другий кінець полюсного важеля має шарнір (стрижень із кулеподібною головкою), який скріплений з бруском під прямим кутом. Шарнір під час роботи планіметра вільно вставляється у конусний отвір каретки. Полюсний важіль звичайно пофарбований у чорний колір.

Рис. 1.15 - Полярний планіметр:

а - зовнішній вигляд; б - відліковий пристрій (відлік 3682)

Обвідний важіль зроблений з білого металу, має вигляд такого ж бруска, як і полюсний важіль. На одному кінці обвідного важеля змонтовано обвідний пристрій у вигляді тупого шпиля або обвідного скельця в металевій оправі з точкою у центрі (3). Шпиль або точку обвідного скельця переміщують по плану (карті) за допомогою серги. По обвідному важелю (4) пересувається каретка з відліковим механізмом (5). Залежно від її положення на важелі визначають його довжину користуючись шкалою верньєра важеля.

У двохкареткових планіметрів марки ПП-2К (планіметр полярний двохкаретковий) на обвідному важелі змонтовано дві каретки однакової будови.

Для визначення площі якої-небудь фігури полюс полярного важеля закріплюють за допомогою голки на плані поблизу вимірюваної ділянки. Обвідний пристрій (шпиль або центр обвідного скельця) встановлюють на будь-яку позначену олівцем точку контуру і на відліковому механізмі беруть перший відлік ті (до обводу). Потім обвідним пристроєм обводять ділянку по контуру (бажано за годинниковою стрілкою) до повернення у початкову точку і беруть другий відлік m₂ (після обводу).

Різниця відліків (m₂-m₁) дасть площу обведеної фігури у поділках планіметра.

Площа фігури (S) буде визначатись за формулою:

S = С (m₂-m₁) (1.5)

де С - ціна поділки планіметра.

Теоретично ціна поділки планіметра (С) визначається за формулою:

С = R* t (1.6)

де R - довжина обвідного важеля (відстань від обвідної точки скельця до осі обертання важелів); t - розмір однієї поділки планіметра.

Звичайно R ≈ 160 мм, a t ≈ 0,06 мм.

Тобто, С = 160. 0,06 ≈ 10 мм² = 0,1 см².

Оскільки величина t дуже мала і одержати її точне значення важко, то практично ціну поділки планіметра визначають способом, викладеним нижче.

Для користування планіметром треба вміти читати відліки і визначати ціну поділки планіметра - встановлювати, скільком квадратним метрам відповідає одна поділка планіметра при даному масштабі плану.

Відлік на лічильному механізмі складається із 4 цифр: першу цифру читають на циферблаті проти нерухомого покажчика (індексу). причому беруть меншу з двох.

Другу цифру читають на барабані лічильного ролика - це номер молодшого підписаного штриха, найближчого до нуля верньєра (2); третю цифру також читають на барабані ролика - це кількість не підписаних поділок від другої цифри до нуля верньєра лічильного механізму (3); четверту цифру читають на верньєрі відлікового механізму - це номер поділки верньєра рахуючи від нуля, яка точно співпадає з будь-якою поділкою на барабані ролика (4).

Визначення ціни поділки планіметра проводиться перед початком роботи. На папері такої ж якості, як і папір плану, будують квадрат із стороною 10 см, обчислюють його площу на місцевості у квадратних метрах за масштабом плану. Далі встановлюють планіметр у робоче положення, шпиль (або центр скельця) ставлять на одну з вершин квадрата, беруть відлік m₁ (початковий), обводять контур квадрата і дійшовши до початкової точки, беруть другий відлік m₂ (кінцевий). Площу квадрата ділять на різницю відліків (m₂- m₁) і знаходять ціну поділки планіметра у квадратних метрах.

Для більш точного визначення ціни поділки планіметра обводять квадрат 2-3 рази і знаходять середню різницю початкових і кінцевих відліків. Ціна поділки планіметра залежить від масштабу шану і довжини обвідного важеля: чим більший знаменник чисельного масштабу і чим більша буде довжина обвідного важеля, тим більшою буде і ціна поділки. Довжина обвідного важеля читається на самому важелі проти позначки верньєра відлікового механізму. Цю довжину можна змінити, пересунувши відліковий механізм ближче або далі від обвідного пристрою.

Перед початком роботи планіметр, як і кожний інший геодезичний прилад, треба перевірити. До планіметра пред'являються такі вимоги:

1. Відстань між барабаном лічильного ролика і дугою верньєра повинна бути мінімальною, не більше товщини листа паперу для записів:

2. Вісь лічильного ролика повинна бути паралельною до осі обвідного важеля; якщо цієї вимоги не додержати, середні з обводів при "полюсі право" (ПП) і "полюсі ліво" (ПЛ) відрізнятиметься більше ніж на 3 поділки:

3. Різниця відліків двох сусідніх обводів повинна відрізнятись не більше як на 2 поділки верньєра;

4. Лічильний ролик повинен легко обертатись і не мати люфту підшипниках.

5. Ремонт приладу проводять у майстерні.

6. При користуванні приладом геодезист має керуватись наступними практичними рекомендаціями, виконання яких сприяє успішному вимірюванню площі ділянок.

7. Перед початком роботи планіметр перевіряють і з відповідною точністю визначають ціну його поділки.

8. Папір, на якому накреслено план, ретельно розправляють і прикріплюють до креслярської дошки, яку кладуть на горизонтальну поверхню стола.

9. Положення полюса вибирають поза контуром з таким розрахунком, щоб при обводі фігури кут між важелями планіметра був не менше 30° і не більше 150°, а лічильний ролик відлікового механізму не сходив з плану на дошку. Для цього треба виконати попередній швидкий обвід контуру ділянки.

10. Обвід починають в тому місці контуру, де ролик ковзає або обертається повільно, коли важелі утворюють між собою кут близький до 90° і напрямок початкового та кінцевого руху шпиля (центра скельця) приблизно співпадає з напрямом обвідного важеля.

11. Обвідний пристрій ведуть по контуру плавним і рівномірним рухом за годинниковою стрілкою. Різких поштовхів і зупинок слід уникати.

12. Прямолінійні контури обводять від руки, не застосовуючи лінійки, щоб уникнути односторонньої помилки.

13. Для контролю результату кожний контур обводять не менше двох разів і розходження у різницях відліків не повинні перевищувати 3-4 поділки верньєра. В противному разі обводи повторюють і бажано при іншому положенні полюса.

14. Розтягнуті контури, а також контури великих фігур попередньо розбивають на частини і обчислюють площу кожної частини.

15. Для вимірювання малих площ ціну поділки зменшують у два - три рази шляхом відповідного зменшення довжини обвідного важеля.

При додержанні цих рекомендацій площі вимірюють планіметром з точністю 1/200 ÷ 1/400 вимірюваної величини.

В сучасних умовах, коли широке розповсюдження знаходять електронні прилади, для вимірювання площ застосовують електронні планіметри. Ці прилади, крім обвідного пристрою, мають електронно - лічильний пристрій і обчислювальну клавішну машину для друку. На табло електронно-лічильного пристрою фіксується виміряна площа. Величина площі контуру, секції або частини можуть бути надруковані на паперовій стрічці обчислювальної машини для друку. Електронний планіметр підвищує точність визначення площ, тобто підвищує якість і продуктивність роботи по визначенню площ.