Диссипативная функция Релея

Затухающее колебание

В реальных условиях на любую систему действует сопротивления различного характера (трение, сопротивление среды), поэтому гармонические колебания не встречаются и колебания любой системы будут являться затухающими. Поскольку сила сопротивления среды i –той точки системы противоположна и пропорциональна скорости, то сопротивление R будет равно:

где - коэффициент пропорциональности, характеризует свойства среды.

Происходит потеря кинетической энергии (рассеивание или диссипация), колебания для этой точки, тогда вводится диссипативная функция Релея

,

где b – обобщенный коэффициент диссипации.

Тогда обобщенная сила сопротивления равна:

Таким образом, получим соответствующие уравнения:

П=

Тогда:

(1)

Делим на а и получаем:

Введем обозначением:

; ,

где n - коэффициент затухания.

Тогда для уравнения затухающих колебаний:

(2)

Общий интеграл уравнения (2)

,

где А - амплитудное значение затухающих колебаний;

- начальная фаза колебания.

Частота колебаний равна

На графике колебаний:

- декремент затухания, -nt - логарифм декремента затухания.

Период равен

График затухающих колебаний имеет вид

Если , то нет полного цикла колебаний (лимитационное колебание)

На этом основано действие автомобильных амортизаторов.

Пример: определить частоту, период колебаний передней подвески автомашины.

Выбираем обобщение координат

1) определим кинетическую энергию системы:

2) потенциальная энергия системы равна

Т.к

;

то

(1)

3) в положении равновесии

(2)

Подставляя полученное выражение (2) в (1), получим значение потенциальной энергии П в положении равновесия

П== (3)

Сравнивая полученные выражения (1) и (3) с выражениями

П=

определяем значения коэффициентов а и с.

Частота таких колебаний находится по формуле

Но этого для решения задачи недостаточно, так как надо получить дифференциальное уравнение движения и определить, колебания являются гармоническими или затухающими.

Используя уравнения (1) и (3), получим уравнение типа

;

Колебания затухающие, тогда частота равна

Следовательно, определяем n и k

;

Вынужденные колебания

Предположим, что на систему в определенной точке действует периодически изменяющаяся сила с частотой ω:

,

где F – возмущающая сила;

ω – частота этой силы;

H – амплитудное значение;

θ – начальная фаза.

Тогда система будет совершать вынужденные колебания и поведение системы будет определяться в основном наличием сопротивления и частоты возмущающей силы .

Тогда уравнение Лагранжа запишется:

,- Фр обобщеных сил ( заданых сил)

где Q_R – обобщенная сила сил сопротивления;

Q_F – обобщенная сила сил возмущения.

Дифференциальное уравнение будет выглядеть:

(1)

Уравнение (1) – дифференциальное уравнение вынужденных колебаний при наличии сил сопротивления.

Если сопротивление отсутствует, то n=0. Тогда система будет совершать гармонические колебания с частотой ω, но не с k.

Текущая амплитуда при наличии сил находится по формуле

Если сопротивление отсутствует (т.е. n=0), то амплитуда равна

Если отсутствует сопротивление частоты собственных колебаний совпадают с частотой вынуждающих сил (), то наступает явление резонанса и амплитуда неограниченно возрастает (А→ ∞). Конструкция разрушается.

Свойства вынужденных колебаний

1. Вынужденные колебания при линейном сопротивлении являются незатухающими с постоянной амплитудой.

2. Сопротивление не влияет на частоту вынужденных колебаний, которые совпадают с частотой возмущающей силы.

3. Вынужденные колебания при линейном сопротивлении не зависят от начальных условий.

4. Резонанс () наступает при отсутствии (малом) сопротивлении и совпадении частот k и ω.