Преобразование чисел из одной системы счисления в другую
Так как десятичная система для нас удобна и привычна, все арифметические действия мы делаем в ней, и преобразование чисел из произвольной недесятичной
системы в десятичную удобно выполнять на основе разложения по степеням q, например:
11100111(2)= 1 х 27 + 1 х 26 + 1 х 25 + 0 х 24 + 0 х 23 + 1 х 22 + + 1 х 21 + 1 х 2° = 128 + 64 + 32 + 4 + 2 + 1 = 231(10),
или 347 =3х82+4х8' + 7x8° =3x64+ 4x8 + 7 = 231
Преобразование из десятичной в прочие системы счисления проводится с помощью правил умножения и деления. При этом целая и дробная части переводятся отдельно.
Рассмотрим алгоритм на примере перевода десятичного числа 231 в двоичную систему (совершенно аналогичен перевод из десятичной системы в любую q-ичную).
Разделим число на два (основание системы): нацело 231 : 2 = 115 и остаток 1, т.е. можно записать 231 = 115x2'+ 1 х2°.
Число 115 (такой двоичной цифры нет) тоже может быть разделено нацело на 2, т.е. 115 : 2 = 57 и остаток 1. По аналогии запишем
231= (57x2 + 1) х 2 + 1 = 57х22+ 1 х 1'+ 1 х 20;
аналогично продолжим процесс дальше:
57 : 2 = 28, остаток 1; 231 = ((28 х 2 + 1) х 2 + 1) х 2 + 1 = 28 х x23 + 1 х 22 + 1 х 21 + 1 х 2°.
28 : 2 = 14, остаток 0; 231 = (((14 х 2 + 0) х 2 +1) х 2 + 1) х 2 + 1 14 х 24+ 1 х22+ 1 х2'+ 1 х2°.
14:2 = 7, остаток 0; 231=((((7 х 2 + 0) х 2 + 0) х 2 + 1) х 2 + 1)х к 2 + 1 = 7 х 25 + 1 х 22 + 1 х 2'+ 1 х 2°.
7:2 = 3, остаток 1; 231 = (((((3 х2 + 1)х2 + 0)х2 + 0)х2 + I I) х 2 + 1) х 2 + 1 = 3 х 26 + 1 х 25 + 1 х 22 + 1 х 21 + 1 х 2°.
3:2=1; остаток 1; далее процесс продолжать нельзя, так как 1 не делится нацело на 2.
231 = ((((((1 х2+1)х2+1)х2 + 0)х2 + 0)х2+1)х2+1)х X 2 + 1 = 1 х 27 + 1 х 26 + 1 х 25 + 1 х 22 + 1 х 2' + 1 х 2°.
Таким образом, последовательное деление нацело позволяет разложить число по степеням двойки, а это в краткой записи и есть двоичное изображение числа.
231 = 1 х27+ 1 х26+ 1 х25+ 0х24+0х23+ 1 х22+ 1 х2' + l 1x2°= 11100111(2).
Эти выкладки можно сократить, записав процесс деления следующим образом:
231(10)=11100111(2)
Читая частное и остатки от деления в порядке, обратном получению, получим двоичную запись числа. Такой способ перевода чисел называется правилом (алгоритмом) последовательного деления, очевидно, что он применим для любого основания.
Между двоичной системой счисления, с одной стороны, и восьмеричной и шестнадцатеричной (заметим 8 и 16 — есть третья и четвертая степени двойки) - с другой, существует связь, позволяющая легко переводить числа из одной системы в другую. Рассмотрим ид примере:
231 (10)= 11100111 (2)= 1 х 27+ 1 х 26 + 1 х 25 + 1 х 22 + 1 х 21 + 1 х 20
Для перевода в шестнадцатеричную систему счисления сгруппируем группы по четыре члена и вынесем в каждой группе за скобки множители, кратные. 24. Получим:
(1 х 23 + 1 х 22 + 1 х 21 + 0 х 2°) х 24 + (0 х 23 + 1 х 22 + 1 х 21 + 1 х 2°) =
=(1 х 23 + 1 х 22 + 1 х 21 + 0) х 161 + (0+1 х 22 + 1 х 21 + 1 х 2°) х 16° =
=14 х 161 + 7 х 16° = E7(16) =
=231
Заключаем: для того, чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, надо выделить группы по четыре цифры (они называются тетрадами), и каждую группу независимо от других перевести в одну шестнадцатеричную цифру.