Практика по свойствам нечетких отношений
Свойства нечетких отношений
Для нечётких отношений могут быть установлены свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности, которые позволят формировать классы нечётких отношений. Но эти свойства также обладают нечёткостью, т.е. существуют нечёткая рефлексивность, нечёткая симметричность, нечёткая транзитивность.
Для определения нечётких свойств нечетких отношений нужно вычислять степени нечёткости для каждой позиции такого отношения.
Степенью рефлексивности нечёткого отношения α(r’)ref называется величина, определяемая выражением . . Отношение называют нечётко рефлексивным,если α(r’)ref≥0,5.
Степенью антирефлексивности нечёткого отношения β(r’)ref называется величина, определяемая выражением . Отношение называют нечётко антирефлексивным, если β(r’)ref≥0,5.
Степенью симметричности нечёткого отношения α(r’)sym называется величина, определяемая выражением:
Отношение называют нечётко симметричным,если α(r’)sym≥0,5.
Степенью антисимметричности нечёткого отношения β(r’)sym называется величина, определяемая выражением:
Отношение называют нечётко антисимметричным, если β(r’)sym≥0,5.
Степенью транзитивности нечёткого отношения α(r’)tr называется величина, определяемая выражением:
Отношение называют нечётко транзитивным, если α(r’)tr ≥0,5.
Отношение, для которого α(r’)ref ≥0,5, α(r’)sym ≥0,5 и α(r’)tr ≥0,5, есть отношение нечёткой эквивалентности. Степень нечёткой эквивалентности определяется выражением: η(r’)=α(r’)ref&α(r’)sym&α(r’)tr=min{α(r’)ref, α(r’)sym, α(r’)tr}≥0,5.
Отношение, для которого α(r’)ref ≥0,5, β(r’)sym ≥0,5 и α(r’)tr ≥0,5, есть отношение нечёткого нестрогого порядка.Степень нечёткого нестрогого порядка определяется выражением: η(r’)=α(r’)ref&β(r’)sym&α(r’)tr=min{α(r’)ref, β(r’)sym, α(r’)tr}≥0,5.
Отношение, для которого β(r’)ref ≥0,5, β(r’)sym ≥0,5 и α(r’)tr ≥0,5, есть отношение нечёткого строгого порядка.Степень нечёткого строгого порядка определяется выражением: η(r’)=b(r’)ref&β(r’)sym&α(r’)tr= min{b(r’)ref, β(r’)sym, α(r’)tr}≥0,5.
Дано нечеткое отношение:
| r’ | х1 | х2 | х3 |
| х1 | 0,8 | 0,2 | 0,7 |
| х2 | 0,4 | 0,6 | 0,6 |
| х3 | 0,6 | 0,7 | 0,8 |
Определить свойства этого отношения.
Решение:
1) для определения степеней рефлексивности и антирефлексивности будем просматривать элементы главной диагонали матрицы, соответствующей нечеткому отношению r’: a(r’)ref=min{0.8,0.6,0.8}=0.6>0.5, следовательно, нечеткое отношение r’ является нечетко рефлексивным,
b(r’)ref=min{0.2,0.4,0.2}=0.2<0.5, следовательно, нечеткое отношение r’ не является нечетко антирефлексивным;
2) для определения степеней симметричности и антисимметричности будем исследовать пары элементов из нечеткого отношения r’, исключая элементы главной диагонали (над фигурными скобками указано, для каких элементов выполняется расчет: i – номер строки, j – номер столбца):
| i=1,j=2 |
| i=1,j=3 |
a(r’)sym=min{max{0.8,0.4},max{0.3,0.6},
| i=2,j=1 |
| i=2,j=3 |
max{0.6,0.2},max{0.4,0.7},
| i=3,j=1 |
| i=3,j=2 |
max{0.4,0.7},max{0.7,0.6}}=min{0.8,0.6,0.6,0.7,0.7,0.7}=0.6
| i=1,j=2 |
| i=1,j=3 |
b(r’)sym=min{max{0.8,0.6},max{0.3,0.4},
| i=2,j=1 |
| i=2,j=3 |
max{0.6,0.8},max{0.4,0.3},
| i=3,j=1 |
| i=3,j=2 |
max{0.4,0.3},max{0.7,0.4}}=min{0.8,0.4,0.8,0.4,0.4,0.7}=0.4
Поскольку a(r’)sym>0,5, нечеткое отношение r’ является нечетко симметричным, и поскольку b(r’)sym<0,5, нечеткое отношение r’ не является нечетко антисимметричным.
3) для определения степени транзитивности нечеткого отношения r’ будем исследовать наличие транзитивности на «триадах» элементов с различающимися индексами:
i j k
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
Далее над формулами показано, для каких индексов выполняется расчет:
| i=1,j=2 |
| j=2,k=3 |
| i=1,k=3 |
a(r’)tr=min{max{(1-0.2), (1-0.4), 0.7},
| i=1,j=3 |
| j=3,k=2 |
| i=1,k=2 |
| i=2,j=3 |
| i=3,j=1 |
| j=1,k=2 |
| i=3,k=2 |
| i=3,j=2 |
| j=2,k=1 |
| i=3,k=1 |
| i=2,k=1 |
| j=1,k=3 |
| i=2,k=3 |
max{(1-0.7), (1-0.7), 0.2},
| i=2,j=1 |
max{(1-0.4), (1-0.7), 0.6},
| j=3,k=1 |
max{(1-0.6), (1-0.6), 0.4},
max{(1-0.6), (1-0.2), 0.7},
max{(1-0.7), (1-0.4), 0.6}}=min{0.8,0.3,0.6,0.4,0.8,0.6}=0.3
Поскольку a(r’)tr<0.5, нечеткое отношение r’ не является нечетко транзитивным.
5.3. Нечёткое исчисление
Основано на понятиях: нечеткие высказывания, нечеткие предикаты и нечеткие предметные переменные и постоянные, нечеткие формулы, нечеткие правила вывода.
5.3.1. Нечёткие высказывания
Это предложения А’, степень истинности которых r(А’) или ложности ¬r(А’) принимает значение на интервале [0,1]. Например, «Сегодня хорошая погода», «Петров – слабый студент». Для оценки таких высказываний, т.е. для определения того или иного значения степени истинности, привлекают авторитетных специалистов - экспертов, имеющих опыт в подобных вопросах. Такой подход называют методом экспертных оценок. Например, есть три эксперта, которые оценивают высказывание «Сегодня хорошая погода»:
| №№ экспертов | r(«Сегодня хорошая погода») |
| 0.9 | |
| 0.6 | |
| 0.3 |
Как видно, степень истинности данного высказывания оценена по-разному. Причинами разногласий могут быть, например, плохое самочувствие эксперта 3, метеозависимость эксперта 2, оптимизм эксперта 1. Для согласования мнения экспертов используют разные методы. Например, пусть результирующая степень истинности высказывания рассчитывается как среднее арифметическое по таблице. Тогда rср(«Сегодня хорошая погода»)= (0.9+0.6+0.3)/3= 0.6, т.е. заданное высказывание истинно на 0.6 и на (1-0.6)=0.4 ложно.