Решение типовой задачи
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
В ЗАДАЧАХ 71—80 заданы результаты обследования.
Требуется: 1) получить вариационный ряд и построить гистограмму относительных частот; 2) вычислить выборочную среднюю 
, дисперсию s2, среднее квадратическое отклонение s, коэффициент вариации V, ошибку средней 
; 3) с надежностью 95% указать доверительный интервал для оценки генеральной средней
.
Обследовано по весу (кг) 20 кроликов. Результаты обследования представлены в табл. 1.
Таблица 1
| № наблюдения | № задачи | ||||
| 3,1 | 5,5 | 3,2 | 6,0 | 4,8 | |
| 4,2 | 5,9 | 3,8 | 4,5 | 5,4 | |
| 5,0 | 7,5 | 4,1 | 4,7 | 4,9 | |
| 4,6 | 5,4 | 4,3 | 5,7 | 3,8 | |
| 6,4 | 3,4 | 4,3 | 5,2 | 5,5 | |
| 5,3 | 5,2 | 5,6 | 3,8 | 5,2 | |
| 3,8 | 4,3 | 6,0 | 4,3 | 6,4 | |
| 5,1 | 4,7 | 5,7 | 4,3 | 6,7 | |
| 4,9 | 5,8 | 4,5 | 5,1 | 5,8 | |
| 5,4 | 6,8 | 5,0 | 5,7 | 5,4 | |
| 5,9 | 4,0 | 6,7 | 6,3 | 4,7 | |
| 6,5 | 5,7 | 5,3 | 4,8 | 3,3 | |
| 5,5 | 4,5 | 5,4 | 5,6 | 5,1 | |
| 5,7 | 5,3 | 4,7 | 6,4 | 4,6 | |
| 4,7 | 6,3 | 4,3 | 7,2 | 5,8 | |
| 5,6 | 5,2 | 5,9 | 5,0 | 6,0 | |
| 5,8 | 4,1 | 6,5 | 5,3 | 7,1 | |
| 7,3 | 5,1 | 7,1 | 5,1 | 5,2 | |
| 4,7 | 5,0 | 3,4 | 4,2 | 5,5 | |
| 5,5 | 6,2 | 4,6 | 3,7 | 4,7 |
Обследовано 20 телят холмогорских помесей. Их живая масса при рождении (кг) представлена в табл. 2.
Таблица 2
| № наблюдения | № задачи | ||||
Задача. Из крупного стада коров произведена случайная выборка, получено 20 вариант удоя коров за 300 дней лактации (в ц): 35,9; 35,3; 42,7; 45,2; 25,9; 35,3; 33,4; 27,0; 35,9; 38,8; 33,7; 38,6; 40,9; 35,5; 44,1; 37,4; 34,2; 30,8; 38,4; 31,3.
Требуется:
1) получить вариационный ряд и построить гистограмму относительных частот;
2) найти основные выборочные характеристики: 
.
3) С надёжностью 95% указать доверительный интервал для оценки генеральной средней 
.
Решение.
1) Запишем исходные данные в виде ранжированногт ряда, т. е. располагая их в порядке возрастания:
25,9; 27,0; 30,8; 31,3; 33,4; 33,7; 34,2; 35,3; 35,3; 35,5; 35,9; 35,9; 37,4; 38,4; 38,6; 38,8; 40,9; 42,7; 44,1; 46,2.
Максимальное значение признака составляет 46,2 ц, а минимальное - 25,9 ц. разница между ними составляет 20,3 ц. Этот интервал надо разбить на определенное количество классов. При малом объеме выборки (20-40 вариант) намечают 5 – 6 классов. Возьмем длин классового интервала 
. Получаем пять интервалов: первый 25 – 30 , второй 30 – 35, третий 35 – 40, четвертый 40 – 45, пятый 45 – 50 (начало первого класса не обязательно должно совпадать со значением минимальной варианты).
С помощью ранжированного ряда определим частоту попадания вариант выборки в каждый интервал. В первый интервал попадает два значения (25,9 и 27,0), поэтому 
. Во второй интервал попадают пять значений (проверьте!), поэтому 
. Аналогично 
.
Теперь найдем относительные частоты попадания вариант выборки в каждый интервал:
в первый интервал;
во второй интервал;
в третий интервал;
в четвертый интервал;
в пятый интервал.
Для проверки вычисляем сумму относительных частот:
Тот факт, что в сумме получили единицу, подтверждает правильность вычислений.
По формуле:
Вычислим плотности P1 относительных частот вариант. Получаем
для первого интервала
для второго интервала
для третьего интервала
для четвертого интервала
для пятого интервала
Полученные результаты сведем в таблицу.
Таблица 3.
| Интервал значений удоя (ц) | 25-30 | 30-35 | 35-40 | 40-45 | 45-50 |
Частоты вариант 
| |||||
Относительные частоты 
| 0.10 | 0.25 | 0.45 | 0.15 | 0.05 |
| Плотность относительных частот P1 | 0.02 | 0.05 | 0.09 | 0.03 | 0.01 |
Рисунок 4.
Строим гистограмму относительных частот — ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются классовые интервалы, а высотами — соответствующие значения плотностей относительных частот P1 . Классовые интервалы изображают на оси абсцисс, а значения Р1 откладывают на оси ординат.
Для нашего примера гистограмма относительных частот изображена на рис. 4.
2) Основные выборочные характеристики вычисляются по формулам:
- выборочная средняя;
– дисперсия;
– среднее квадратическое отклонение;
– ошибка средней;
- коэффициент вариации.
Расчеты 
удобно проводить с помощью таблицы.
Таблица 4
| № п/п | Результат обследования, 
| 
| 
|
| 35,9 | -0,1 | 0,01 | |
| 35,3 | -0,7 | 0,49 | |
| 42,7 | 6,7 | 44,89 | |
| 45,2 | 9,2 | 84,64 | |
| 25,9 | -10,1 | 102,01 | |
| 35,3 | -0,7 | 0,40 | |
| 33,4 | -2,6 | 6,76 | |
| 27,0 | -9,0 | 81,00 | |
| 35,9 | -0,1 | 0,01 | |
| 38,8 | 2,8 | 7,84 | |
| 33,7 | -2,3 | 5,29 | |
| 38,6 | 2,6 | 6,76 | |
| 40,9 | 4,9 | 24,01 | |
| 35,5 | -0,5 | 0,25 | |
| 44,1 | 8,1 | 65,61 | |
| 37,4 | 1,4 | 1,86 | |
| 34,2 | -1,8 | 3,24 | |
| 30,8 | -5,2 | 27,04 | |
| 38,4 | 2,4 | 5,76 | |
| 31,3 | -4,7 | 22,09 | |
| ∑ | 720,3 | 490,05 |
Просуммировав варианты , занесем сумму ∑в нижнюю строку таблицы под соответствующим столбцом. Разделив эту суму на 20 получим
Теперь заполняем следующий столбец таблицы, в который записываем разности 
Для контроля можно вычислить сумму всех таких разностей. Если разности вычислены правильно, то их сумма равна нулю.
Затем возводим эти разности в квадрат и заполняем последний столбец таблицы. Вычислив сумму 
и разделив ее на n-1=20-1=19, получим значение дисперсии
Извлекая с помощью таблиц или микрокалькулятора квадратный корень из величины 
, находим
S= 5,08
Затем ошибку средней:
Вычисляем коэффициент вариации
Поскольку 10%<V<20%, то изменчивость удоев за 300 дней следует считать средней.
3) Доверительный интервал для оценки генеральной средней определяется как:
Где величина 
при заданной надежности 
определяется с помощью таблиц приложения 2. В нашем примере
Вычисляем теперь радиус доверительного интервала:
Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что во всем стаде средний удой за 300 дней (генеральная средняя) заключен в пределах от 
(гарантированный минимум) до 
(возможный максимум).