Теореми про визначений інтеграл
1.Теорема про середнє
y Якщо функція f(x) неперервна на [a, b] тоді на
c [a, b] існує така точка С, що
f(x)
0 a c b
Доведення: можливі три випадки для a, b
1)
2) a < b
Візьмемо на проміжку [a; b] min=m та max=M значення функції
f(x), тоді з властивості (7)
розділимо його на ( b - a )
так як f(x) неперервна на [a; b]→приймає будь-яке значення на
[m; M] → існує така точка С [a ; b],що
3) a > b, то
Зауваження: теорема про середнє має геометричний зміст:
y
M
f (c)
m
0 a c b x
величина визначеного інтеграла при f ( x ) ≥ 0 дорівнює
площі прямокутника з висотою f(c) і основою b - a
2.Теорема про визначений інтеграл зі змінною верхнею межею.
Похідна інтеграла від неперервної функції зі змінною верхнею межею
існує і дорівнює значенню підінтегральної функції в точці, яка дорівнює
верхній границі т. б.
΄ Доведення: З заданої функції та властивості (6) для будь якого x та x0 [a;b] тоді за теоремою про середнє:
де C , коли i C , якщо .
Отже знайдеться таке C ,
що f (c)
- що і потрібно було довести.
3. Теорема (формула Ньютона – Лейбніца)
Якщо f (x) неперервна на [a;b], а функція F(x) є первісна для f (x)
на [a;b], то справедлива формула
Доведення: Відповідно теоремі 2: Ф (х) = - є первісна для
f (x) на [a;b]. Так як і F (x) є первісна для f (x) на [a;b] то
Ф (х) – F(x) рівна деякій постійній С на всьому проміжку [a;b],
тобто Ф (х) = F (x) + C, надаючи х значення a, а потім b маємо:
Ф (a) = F (a) + C , але Ф (a) =
Ф (b) = F (b) + C
Ф (b) = , то С = - F (a)→ Ф (b) = F (b) – F (a)
Теорему доведено.
§ 3.Методи обчислення визначеного інтеграл
1.Метод заміни змінної інтегрування
Теорема Нехай функція f(x) неперервна в точці, де [],
a= тоді ,якщо має неперервну
похідну то
Доведення: За формулою Нютона-Лейбніца де F(x) –первісна для f(x) на . З іншого боку, розглянемо складену функцію , згідно правила диференціювання складеної функції
звідси випливає, що є первісною для , яка неперевна на , тоді згідно формули
Нютона-Лейбніца:
Приклади:
1) =
2)
3)
4)
2.Метод інтегрування за частинами
Теорема Нехай функції U(x) і V(x) мають неперервні похідні на [a;b]
Тоді справедлива ф-лаu(x)v'(x)dx=u(x)v(x) -v(x)u'(x)dx
або udv=uv -vdu
Доведення: використаємо відому формулу похідної добутку (uv)'=u'v+uv' проінтегруємо (uv)'dx=uv'dx+u'vdx
(uv)'dx=uv отже uv =uv'dx+vu'dx тобто
uv'dv=uv -vdu
Обчислити:
Приклади:
1)= = x lnx -=e·lne-1·ln1-x =e - 0 - e +1=1
2) =
Зауваження: всі методи невизначеного інтеграла діють для визначеного інтеграла (метод невизначених коефіцієнтів, метод підстановок tn, тригонометричних і т.д. ) .