Поняття визначеного інтегралу.

Семестр

РОЗДІЛ 1

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

 

Нехай f(х)=у неперервна на х [a , b]

 

 
 


y aABb - криволінійна трапеція.

B відшукаємо її плошу.

Для цього [a, b] розіб’ємо точками на n рівних

частин. Точки m i Mi – є min та max f (x) -

інтервалу [xi, xi+1],

A aABb - розіб’ється на частини, площа і-ої

частини більше або дорівнює m (xi+1 –xi) менше

0 a x1 x2 b x або дорівнює Мі(хі+1 – хi).

Нехай Sn= S'n=

 

SnSaАВbS'n ,т.ч. Sn i S'n прямують до SaABb , коли n

Означення Нехай f (x), x [ a; b ] - неперервна невід’ємна функція, а

границі послідовностей Sn i S'n існують і рівні, їх

значення називають площиною криволінійної трапеції.

 

Таким чином, нехай сі ( хі-1, хі ) тоді mi ≤ f ( ci ) ≤ Mi домножемо його

на Δxi та знайдемо суму усіх значень від 1 до n

Sn ≤ f ( ci ) ∆xi ≤ S’n, →

Означення Нехай f ( x ) визначена в будь-якому х [ a; b ]. Якщо

існує і не залежить від вибору т. сі , то f ( x )

називають інтегрованою на проміжку [ a ; b ] , а границю -

визначеним інтегралом від функції f ( x ) на [ a ; b ] і

позначають

Властивості:

1.Для будь-якого числа α:

2. Якщо f ( x ) інтегрована на [ a; b ], то α ф-я α f ( x ) також інтегрована

на [ a; b]:

3. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів, якщо ф-ії f ( x ) i g ( x )

інтегровані на [ a; b ],

4. Якщо f ( x ) i g ( x ) інтегровані на [ a; b ] i f ( x ) ≤ g ( x ), то

5. Для інтегрованої функції f ( x ) на проміжку [ a; b ] виконується:

6. Якщо f ( x ) інтегрована на [ a; b ], то вона інтегрована на проміжку

[ a; b ] крім того, якщо f ( x ) інтегрована на [ a; c ] i [ c; d ], то вона

інтегрована на проміжку [ a; b ]

Доведення: Нехай a < c < b , так як границя інтегрованної суми не

залежить від способу ділення відрізка [a ; b] то будемо ділити його таким

чином ,щоб точка С була точкою ділення , наприклад: C=Xm ,тоді

інтегральна сума розіб’ється на дві суми:

переходячи до границі , коли отримаємо:

Якщо a, b, c розташовані іншим чином, наприклад a < b < c, властивість

зберігається , дійсно:

7. Якщо інтегрована на проміжку [a ; b] функція f(x) задовільняє нерівності

, де m, M = const , відповідно min та max на [a; b] то

8.Якщо f(x) інтегрована на проміжку [a ; b], то