Диференціювання функцій багатьох змінних

Розглянемо функцію U=f(x,y), визначену в околі т. М₀.

Якщо одна з координат цієї точки фіксована, тобто постійна, наприклад Y₀, маємоф-ію однієї змінної f(X,Y₀).

Озн.1 Похідна ф-ії f(x,y) по одній змінній наз. Частинною похідною і позначається

, коли Y₀ – фіксована.

- похідні другого порядку.

Озн.2 Похідна називається змішаною похідною другого порядку. Для неї виконується рівність

Приклад: Перевірити останнє твердження для

§3 Геометричний зміст частинної похідної

Z=f(x,y) – геометрично, це поверхня у просторі, прямокутної системи координат. Нехай А- точка поверхні А(Х₀,Y₀,Z₀); Z₀=f(Х₀,Y₀)

Проведемо через неї площину паралельну ОZ і перпендикулярну ОY.

Рівняння площини Y =Y₀. У перетині з поверхнею отримуємо криву, яка проходить через точку А(Х₀,Y₀,Z₀) і належить поверхні. В площині Y =Y₀ крива має рівняння Z= f(Х,Y₀) (1)

Кутовий коефіцієнт дотичної до кривої в точці А буде дорівнювати k=, аналогічно k=, таким чином:

Озн.1 Перші частинні похідні від Z= f(Х,Y) в точці (Х₀,Y₀) дають кутові коефіцієнти дотичних ліній, перетин поверхні площинами паралельними координатним площинам ZOY, ZOX, що проходять через точку А(Х₀,Y₀,Z₀).