Границя та неперервність Ф.Б.З.

Функції багатьох змінних

Озн.1 Функція, залежна від двох та більше змінних називається функцією кількох змінних f(x,y), f(x,y,z), f(x,y,z,t)

Озн.2 Областю визначення Ф.Б.З. являється множина точок М, для яких функція f(M) визначена

Приклад:

1)

2)

Озн.4 Поверхнею рівня функції U=f(x,y,z) називається поверхня f(x,y,z)=С, в точках якої функція зберігає стале значення U=С.

Приклад:

U=

Озн.5 Окіл точки М₀(Х₀,Y₀) є множина усіх точок М(X,Y), які задовольняють нерівності <<

Озн.6 Число А називається границею функції f(M) коли М→М₀, якщо для будь-якої послідовності точок така що , виконується рівність

Озн.7 Функція f(M) називається неперервною в точці М₀ якщо виконується нерівність . У випадку двох змінних М→М₀

^y→y

Озн.8 Функція f(M) називається неперервною на множині, якщо вона неперервна в будь-якій точці цієї множини.

Зауваження: Усі теореми і властивості однієї змінної діють для Ф.Б.З.

Приклад: Показати, що функціянеперервна на будь-якій області визначення (х,у)

Рішення: О.Д.З. будь-які X²≠Y²≠0

Візьмемо будь-яку т. (X_n,Y_n)=>