ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ

Невизначені вирази

Вираз при a _n0 , при є не визначення виду , якщо , є вирази ,і т.д.

Озн 1. Число А наз. границею ф-ії f (x) при xa , якщо E>0 знайдеться таке >0, що як тільки , виконується нер-ть , тобто lim f(x) =А.

+E _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

A _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Геом. –E _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Приклад. Показати , що lim (5x-2) =3

^x1

Розв’язування . Знайдемо , задамо E=0,1

при Е=0,1 , .

Озн.2. Число А наз. Границею ф-ії f(x), при x, якщо знайдеться таке M (E)>0, що як тільки |x| >M виконується || < E

тобто lim f(x) =А.

Приклад . - Довести !

^x

але |х|>M x² > M²

т.

Односторонні границі

Озн.3. Число А наз-ся правосторонньою границею ф –ії f(x), при якщо , знайдеться таке що , якщо a-x < ,тобто x>a.

a (x > a)

lim f(x) = A

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Озн.4. Число А наз-ся лівосторонньою границею ф –ії f(x) при , якщо , знайдеться таке що |f(x)-A|<E, якщо

a-x<, тобто x<0 .

(x < a) a

Теорема. Границя ф-ії f(x) в т.А існує тоді і тільки тоді, коли існує ліво- і правосторонні границі, і вони рівні.

lim f(x) = lim f(x) = k

Приклад.

f(x)=

lim x² =0 lim x =0 => lim ! =0

Озн.5. Функція f(x) наз-ся обмеженою на будь-якому інтервалі, якщо існує таке M >0, що |f(x) | M для всіх точок із нього.