Поверхні другого порядку
Параметричне рівняння лінії
Інколи заміст рівнянь ліній, які повязують прямокутні координати 
та 
, розглядають параметричні рівняння. Які визначають змінні величини 
(параметра). Наприклад в механіці т. 
є функція від часу .
Розглянемо параметричне рівняння кола, коло 
.
В 
.
Рівняння кола:
, 
Рівняння еліпса:
Приклад: побудувати криву 
; 
; 
. 
- парабола.
| t | -2 | -1 | 0 | 1 | 2… |
| x | 4 | 1 | 0 | 1 | 4… |
| y | -4 | -2 | 0 | 2 | 4… |
2) 
, 
| t | 
| 
| 
|
| x | 
| 
| 
|
| y | 
|
|
1. Сфера
Означення 1. Сферою радіуса 
називаэться множина всых точок простору,
відстань від кодної до даної точки (центру) дорівнює .
При 
.
Приклад: визначити координати 
і . 
.
2. Циліндричні поверхні
Означення 2. Поверхня, що скдадається з усіх прямих, що перетинають дану
лінію 
називається циліндричною поверхнею.
Еліптичний циліндр: 
Круговий циліндр 
Параболічний циліндр: 
Гіперболічний циліндр: 
3. Конічні поверхні
Означення 3: поверхня, яка складається з усіх прямих, що перетинають дану
лінію і проходять через дану т. 
називається конічною.
Конус 
- еліптичний
- круговий
4. Поверхні обертання
Еліпсоїд 
Гіперболоїди
Параболоїд 
Гіперболічний параболоїд 
 |
Пример 6. Сегментная арка имеет вид или форму дуги окружности (рис. 4). Составить уравнение этой окружности, найти положение ее центра и радиус, если пролет арки L = MN= 20, а ее подъем , т.е. отношение ее высоты кпролету,
,
Решение. По условию L=20м, 
, следовательно d=5м. В выбранной системе координат точки M, N, Pимеют соответcтвенно координаты (-10;0), (10;0), (0;5). В силу симметрии арки относительно оси Oy центр искомой окружности т. С лежит на оси Oy.
Запишем уравнение окружности: 
.
Поскольку окружность проходит через точки M и P, можем записать систему:
;
Решив ее, получимR=12,5 , Y0=-7.5.
Таким образом, центром окружности является точка C(0;-7,5),а ее радиус –R=12,5. Уравнение
окружности имеет вид:
.
 |
Пример 7. Кривошип OAвращается с поcтоянной угловой скоростью w=10 рад/c и приводит в движение ползун B с помощью шатуна AB ,причем OA=AB=80см (рис.5). Составить уравнение траектории средней точки Мшатуна изобразить эту траекторию на рисунке.
Решение. Используя рис. 5, находим 
Из 
. 
.
Тогда 
; 
.
Поскольку угловая скорость кривошипаOA постоянна, то 
Где t - время
Полученные уравнения являются параметрическими уравнениями траектории точки М.
Исключив параметр t, получим каноническое уравнение траектории:
Это элипс с полуосями 
, 
изображенный на рис.5.
Розділ 4. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ.
1.ФУНКЦІЯ
Озн.1 Величина у – наз. функцією від величини х, якщо за певним правилом f ,кожному значенню величини х відповідає єдине цілком визначене значення величини у. Х –наз . аргументом, або незалежною змінною, у-залежною змінною. В даному випадку записують у = f (х).
f-правило за яким 
х відповідає 
! у.
Способи завдання функції:
1) Аналітичний – у =f (х)
Х ……………………………
2) Табличний У …………………………… (табулювати) це приблизний.
 |
3) 
Графічний
Озн.2 Графіком функції у =f (х) – наз. множину всіх точок М(х,у) площини ОХУ, координати яких зв’язані данною функціональною за-лежністю.
Озн.3 Якщо кожному значенню х відповідає одне значення у, то у=f(х)-наз.однозначною ф-цією (у = sinx, y =x2 ), якщо хоча б деяким значенням х відповідає декілька або нескінчена множина значень змінної у, то у – наз. багатозначною ф-єю від х (наприклад у = arcsin x).
Основні елементарні функції
1) степенева ф-ія у = х
_______ _______ _______ _______
>1 <1 0<<1 у = х1/ 3
2)показникова у = ах
3)логарифмічна у = log ах
4)тригонометричні
Взаємообернені функції.
Нехай дана функція (1) у = f(х), х є [а , в], х є [c , d ] , тоді у = 
(х) або у = (у) (2) буде взаємооберненою відносно у = f(х). Графіки взаємообернених ф-цій симетричні відносно прямої у = х (бісектриси 1 і 3 коор. кутів)
у=f(х)
у = (х)
Обернені тригонометричні ф-ії.
y = arcsin x y = arctg x
Y = arcctg x
y = arccos x
Складна ф-ція (суперпозиція ф-ції )
Х U u = (x)
f q y = g (u)
Y y = f (x) = g(u) = g( (x))
Y =g- суперпозиція ф-ії
Наприклад : y = sin u , u = x2 , y = sin x2
Неявні функції
Озн.4 Функція наз. явною, якщо вона задана формулою, права частина якої не містить залежної змінної (y = x2, … ), і наз-ся неявною, якщо вона задана рівнянням F(x,y) = 0 (1), яке не розв’язане відносно y.
( x 2 + y2 = 1 )
Зауваження Не всяке р-ня (1) визначає неявну функцію. Наприклад
x2 + y2 + 1 = 0 в області дійсних чисел функцію не виз-
начає.
Елементарні функції
Озн.5 Функція у =f (х) наз-ся елементарною, якщо вона може мати вигляд одного аналітичного виразу з кінцевим числом арифметичних дій над основними елементарними ф-ями.
ln2x_
( y= ctg x2+
x2+4 - 5 ) – елем.
у=| x | = 
2 –не явл. т.як | ~ |
- не вход. в ариф. дії
До елементарних ф-цій відносяться:
а) раціональні у = Pn (x) = A 0x4+ …+A n-1 +A n
у = ах + b, y = ax2+ bx +c
Рn (x) 1_
б) дробово-раціональні у = Qm(x), де Pn (x), Qm (x)- многочлени (у= х )
ех - е-х у=sh x
в) гіперболічні : sh x = 2
ex + e-x y = ch x
ch x = 2
1
sh x_ex – e -x_ _ _ _ _ _ _ 1_ _ _ _ _
th x = ch x = ex +e –x
_ _ _ _ _ _ -1 _ _ _ _ _
 |
ch x_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
cth x = sh x
 |
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Властивості : ch2 x – sh2 x = 1
sh (x 
y) = sh x * ch y sh y * ch x
ch (x +y) = ch x * ch y + sh x * sh y
(Дома повторити елементарні функції: парну, непарну , періодичну та
їх графіки).