Властивості проекцій.

Властивості координат вектора.

Нехай_

1).

2).

3).

4).

Доведемо 2:

§6. Проекція вектора на вісь.

Означення 1. Проекцією т. А на пряму L називається точка А' в якій перетинається пряма L з площиною перпендикулярною до L, що проходить через т. А.

Задамо напрямлену пряму L, вектора

Означення 2. Проекцією вектора на напрямлену пряму L називається вектор , де А',В' - відповідно проекції т. А і В на пряму L. А'В' = пр₁АВ.

Означення 3. Числову проекцію вектора = на напрямлену пряму L називається добуток к кута (a) між а і напрямком L

пр=cos ( a^L )

1).пр= 0, якщо = 0, або a = p / 2.

2).пр( l ) = l пр.

3).пр( ) = пр+ пр.

4).пр( a+ a+…+ a) = aпр+…+aпр

Доведення 2. 1). l > 0 прl = cos a = a cos a = l пр.

2).l < 0 прl = -l cos ( p-a) = l cos a = l пр.

§7. Декартові координати вектору та точки.

Розглянемо прямокутну систему координат в просторі OXYZ . На кожній осі виберемо одиничний вектор, напрям якого співпадає з додатнім напрямком осей ОХ-і, OY-j, OZ-n, =1. Ці три взаємно перпендикулярні вектори називаються ортами, так як вони некомпланарні, то вони утворюють базис, який називається декартовим ортогональним базисом.

Розглянемо в просторі вектор Через кінець вектора проведемо площини, паралельні координатним площинам, отримаємо паралелепіпед одною із діагоналей якого являється . За означенням суми декількох векторів маємо: але , вектори являються складовими векторами по осям OX,OY,OZ, але = пр, =

= пр, = пр

a = a+ a+ a

Нехай точка М має координати х, у, z. Напрямлений відрізок ОМ називається радіус-вектором т. М тобто , тоді проекції вектора на осі а= x , a= y, a= z, ( x, y, z ) = x +y+z- Декартові координати .

Напрямлені косинуси: Нехай дано a( a, a, a), тоді:

a= пр= cos a

a= пр= cos b

a= пр= cos g

cos a = a/;cos b = a/;cos g = a/;Таким чином будь-якийвектора має отр вектора а = cos ai + cos bj + cos gk .

§8 Ділення відрізка в даному відношення.

Розділити відрізок MMв даному відношенні l>0. Це M M M₂ означає на даному відношенні l > 0. Це означає, на даному відрізку знайти таку точку М, для якої виконується рівність:MM/MM=l,абоMM=lMM(1). Нехай є т. M( x, y, z) і т. M( x, y, z). Знайдемо координати точки М(х, у, z). Так як викону­ється рівність (1) маємо: (х-х)+(у-у)+ + ( z -z) = l ( x-x) + l ( y-y ) + l ( z-z) , тоді х-х= l ( x-x);

у-у= l ( y-y); z-z= l ( z-z).Таким чином маємо:

x = ( x+ l x)/(1+l) y = ( y+ ly)/(1+l) z = (z+l z)/(1+l)

Якщо т. М середина відрізка М₁М₂, тобто l = 1, то х = (х₁+х₂)/2; у = (у₁+у₂)/2; z=(z₁+z₂)/2.

Приклад . Горизонтальна балка довжиною 3 м і масою 80 кг вільно лежить своїми кінцями на двох рухомих опорах А і В. На відстані від кінця А потрібно розмістити вантаж масою 200 кг, щоб тиск на опору В був рівним 1100 Н?

Ров'язання:

Маса балки 80 кг складає 784 Н. На опору діє половина ваги балки. Тобто 392 Н. Вага масою 200 кг діє на балку силою 1960 Н. На частину опори В повио припадати 1100 – 392 = 708 Н, а на частану опори А - інші 1252 Н.

Прийнявши точку А за початок координат (рис. 2),ділимо відрізок в відношенні

Тоді

Таким чином, щоб тиск на опору В був рівний 1100 Н, необхідно вантаж масою 200 кг розмістити на відстані 1,07 м від опори А.