Множення вектора на число.

Віднімання векторів.

Означення 2.Сумою декількох векторів називається вектор, початок якого співпадає з початком першого, а кінець - з кінцем останнього, причому кожний наступний вектор має початок в кінці попереднього.

Додавання векторів.

Означення 1. Сумою двох векторів і називається третій вектор, початок якого співпадає з початком вектора , а кінець з кінцем вектора , причому початок вихо­дить із кінця.

.

Сума двох неколінеарних векторів і можна знаходити правилом трикутника або пара­лелограму.

Сума 3-х некомпланарних векторів , , за правилом паралелепіпеда

Означення 4. Добутком вектора на число m називається вектор , який задовольняє наступним умовам:

1) довжина вектора дорівнює добутку довжини на модуль числа m;

2) якщо m >0, то і співнапрямлені, якщо m< 0, то і- протилежно нап­рямлені.

=ma, m>0

=ma, m<0

Властивості добутку вектора на число.

1) × 1= , × 0=0;

2) a ( b ×)=( a × b ) ;

3) ( a × b ) = a × + b × ;

4) a (+ )= a+ a.

(Довести одно самостійно)

§3 Орт вектора. Умова колініарності.

Означення 1. Вектор, модуль якого дорівнює 1, називається ортом (одиничним вектором).

Означення 2.Ортом ненульового вектора називається вектор, модуль якого дорівнює 1, а напрямок співпадає з напрямком вектора 1, 0 || .

Справедлива рівність: = 0; 0= / .

Теорема 1. (ознака колініарності 2-х векторів).

Для того, щоб два вектори були колінеарні необхідно і достатньо, щоб один із них дорівнював добутку деякого числа на другий вектор.

Нехай вісь 1 утворює з осями координат кути a,b,g. Напрямними косинусами осі 1 (або напрямку 1) називаються косинуси цих кутів (cos a, cosb, cosg)

Якщо напрямок заданий одиничним вектором, то напрямні коси­нуси являються його координатами n0(cos a, cosb, cosg). Напрямні косинуси зв'язані між собою співвідношенням:

§4. Лінійна залежність, та незалежність векторів.

Означення 1. Вектори називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа осі, одночасно не всі рівні нулю що . В протилежному випадку вектори називаються лінійно-незалежними.

Якщо вектори лінійно залежні і наприклад , тоді тобто, - являється лінійною комбінацією векторів .Таким чином, якщо вектори лінійно-залежні, то хоч один із них лінійно виражається через решту векторів. Геометрично:

Теорема 1. (про лінійну залежність 2-х векторів).

Два, вектори лінійно-залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Доведення: - лінійно-залежні Þ, тоді за ознакою колініарності úú.щ.п.д.

Теорема 2. (про лінійну залежність 3-х векторів).

Три вектори лінійно-залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Доведення: 1) Необхідність.

Нехай , лінійно залежні, покажемо, що вони компланарні. З того, що вектори лінійно залежні можемо записати :

а) úú, то лежить з ними на одній прямій тоді - компланарні.

б)úú, тоді за правилом паралелограма маємо, що всі вектори лежать в одній площині Þ компланарні.

2) Достатність.

Нехай компланарні, покажемо, що вони лінійно залежні.

а) úúÞÞ лінійно залежні.

б) - попарно колінеарні.

1)

2) тоді

лінійно залежні.

Наслідок: 1. три компланарні вектори лінійно незалежні.

2. чотири вектори в трьохмірному лінійному просторі лінійно залежні завжди.

Теорема 3. Якщо два вектори не колінеарні, то будь-який вектор що лежить в площині векторів , можна лінійно виразити через вектори єдиним способом.

Доведення: -компланарні (за умовою), тоді існують такі числа одночасно не рівні нулю, то . Розглянемо два випадки:

а) нехай, наприклад, g = 0, тоді Þ - лінійно залежні.úú.

б)g¹0, , або (1) так як лінійно незалежні, то (2) .

Теорема 4. Якщо три вектори - не компланарні, то будь-який вектор можемо лінійно ви­разити через , при тому єдиним способом.

§5. Базис і координати вектора.

Означення 1. Множину найрізноманітніших систем (), дійсних чисел називають n - мірним дійсним простором і позначають через R_n.

Кожну таку систему чисел назвемо точкою або вектором R_n, числа х₁... х_n- координати точки (вектора) або компоненти вектора.

Означення 2. Сукупність “n” лінійно незалежних векторів n - мірного простору називається його базисом.

Зауваження: Простір називається лінійним векторним, якщо в ньому визначені операції дода­вання векторів і множення на число.

Теорема 1. Кожен вектор лінійного n-мірного простору можна представити єдиним спосо­бом у вигляді лінійної комбінації векторів базису

Числа a₁, a₂…a_n - називаються координати вектора в базис? тобто .