Приклад:3 6 3 6

Визначники матриць другого порядку

Властивості дій над матрицями

Транспонування матриць

Означення 6:Матрицю А^т називають транспонованою по відношенню до матриці А, якщо вона утворена шляхом заміни рядків на стовпчики в матриці А.

Приклад :

1 3 1 9

А= А^т=

9 4 3 4

1. 1×А=А×1=А

2. 0×А=А×0=0

3. a(b×А)=(a×b)А – асоціативність відносно множення чисел.

4. А+В=В+А – комутативність додавання матриць.

5. a(А+В)=aА+aВ – дистрибутивність відносно суми матриць.

6. (a+b)А=aА+bА

7. А+0=0+А=А

8. (aА)В=a(АВ)=А(aВ)

9. (А×В)С = А(В×С)

10. А(В+С) = АВ+АС; (А+В)С =АС+ВС

11. А×Е=Е×А=А

За означенням довести одне з них.

Визначник - це числова характеристика квадратної матриці.

Означення 1. Визначником (детермінантом) матриці другого порядку

називається чисто D =|А| = detA = а₁₁ а₂₂- а₂₁ а₁₂ . Позначають визначник:

а₁₁ а₁₂

|А| = detA =

а₂₁ а₂₂

А= |А|= = 12-6=6

1 4 1 4

Властивості визначників матриць другого порядку|А^т| , як це довести ?

Доведення:

а₁₁ а₁₂ а₁₁ а₁₂

|А| = = а₁₁ а₂₂- а₂₁ а₁₂ |А^т|= = а₁₁ а₂₂- а₁₂ а₂₁

а₂₁ а₂₂ а₂₁ а₂₂

Наслідок: Будь-яка властивість справедлива для рядків визначника, зберігається і для стовпців.

1. Якщо елементи будь-якого рядка (стовпця) матриці рівні нулю, то її визначник дорівнює нулеві: 0 а₁₂

= 0

0 а₂₂

3. Якщо елементи одного рядка матриці дорівнюють відповідно елементам другого рядка, то визначник цієї матриці дорівнює нулю.

4. Якщо елементи двох рядків поміняти місцями, то визначник не зміниться за абсолют­ною величиною, а його знак поміняється на протилежний:

а₁₁ а₁₂ а₂₁ а₂₂

а₂₁ а₂₂ а₁₁ а₁₂

5. Якщо елементи деякого рядка матриці помножити на одне і те ж число “k”, то визнач­ник матриці зміниться в “k” разів.

kа₁₁ kа₁₂ а₁₁ а₁₂

k

а₂₁ а₂₂ а₂₁ а₂₂

6. Якщо елементи деякого рядка матриці пропорційні елементам другого рядка цієї ж мат­риці, то її визначник дорівнює нулеві.

а₁₁ а₁₂ а₁₁ а₁₂

k

kа₂₁ kа₁₂ а₁₁ а₁₂

7. Нехай дано два визначники другого порядку у яких відповідно два стовпчики співпа­ли, а два різні:

а₁₁ а₁₂ b₂₁ а₂₂

D₁ = D₂ =

а₂₁ а₂₂ b₁₁ а₁₂

Тоді сума цих визначників буде дорівнювати визначнику другого порядку, у якого вказаний стовпчик складається із суми відповідних елементів цих стовпчиків

а₁₁ а₁₂ b₁₁ а₁₂ а₁₁+b₁₁ а₁₂

D = D₁ + D₂ = + =

а₂₁ а₂₂ b₂₁ а₂₂ а₂₁+b₂₁ а₂₂

Довести самостийно:

= а₂₂(а₁₁+b₁₁)-а₁₂(а₂₁₊b₂₁)= a₂₂a₁₁+a₂₂b₁₁-a₁₂a₂₁+a₁₂b₂₁= (a₂₂a₁₁-a₁₂а₂₁)+(a₂₂b₁₁-a₁₂b₂₁)= =D₁ + D₂

8. Якщо до елементів деякого рядка матриці додати відповідно елементи другого рядка матриці, помножені на одне і те ж саме число “k”, то визначник матрицы не зміниться.

Як можна це довести?

Доведення:

а₁₁ а₁₂ а₁₁+ka₂₁ а₁₂+ka₂₂ а₁₁ а₁₂ а₂₁ а₂₂ а₁₁ а₁₂

= = +k = = 0 а₂₁ а ₂₂ а₂₁ а₂₂ а₂₁ а₂₂ а₂₁ а₂₂ а₂₁ а₂₂

9. |АВ|= |А|× |В|.

§4. Визначники матриць третього порядку

Означення 1.Визначником матриці третього порядку

а₁₁ а₁₂ а₁₃

А = а₂₁ а₂₂ а₂₃

а₃₁ а₃₂ а₃₃

називається число: а₁₁ а₁₂ а₁₃

D = а₂₁ а₂₂ а₂₃ = а₁₁а₂₂а₃₃+а₃₁а₁₂а₂₃+а₂₁а₃₂а₁₃‑

а₃₁ а₃₂ а₃₃ ‑ а₃₁а₂₂а₁₃-а₃₂а₂₃а₁₁-а₂₁а₁₂а₃₃

Тут виражено правило трикутника. Визначник можна розкрити за правилом Саррюса:

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₁₁ а₁₂

а₂₁ а₂₂ а₂₃ а₂₁ а₂₂ = а₁₁а₁₂а₃₃+а₃₁а₁₂а₂₃+а₂₁а₃₂а₁₃-а₃₁а₂₂а₁₃-а₃₂а₂₃а₁₁-

а₃₁ а₃₂ а₃₃ а₃₁ а₃₂ - а₂₁а₁₂а₃₃

Приклад: обчислити визначник

1 2 -3

= -1 -3 4 = -2

2 1 -1

Зауваження: Всі властивості 1 - 9, які справедливі для визначників другого порядку справедливі і для визначників третього порядку.

Означення 2. Мінором елемента a_ij матриці А, називається визначник отриманий із мат­риці А шляхом закреслення в матриці А і-го рядка та j-го стовпця. Мінор позначається М_ij.

Мінор першого порядку можна отримати із матриці другого порядку.

а₁₁ а₁₂

А=

а₂₁ а₂₂ М₂₁=|а₂₁|=а₁₂

Мінор другого порядку можна отримати із матриці третього порядку, наприклад:

а₁₁ а₁₂ а₁₃

А = а₂₁ а₂₂ а₂₃ М₂₁= а₁₂ а₁₃

а₃₁ а₃₂ а₃₃ а₃₁ а₃₃

Означення 3. Алгебраїчним доповненням (або ад’юнктом) А_ij елемента а_ij матриці А на­зивається мінор цього елемента, взятий зі знаком (-1)^i+j, тобто А_ij=(-1)^i+j М_ij.

Теарема 1.Визначник матриці дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка на алгебраїчні доповнення цих елементів

а₁₁ а₁₂ а₁₃

|А| = а₂₁ а₂₂ а₂₃ = а₁₁А₁₁+а_12­А₁₂+а₁₃А₁₃

а₃₁ а₃₂ а₃₃

Доведення:

а₂₂ а₂₃ а₂₁ а₂₃ а₂₁ а₂₂

а₁₁А₁₁+а₁₂А₁₂+а₁₃А₁₃= а₁₁(-1)² + а₁₂(-1)³ + а₁₃(-1)⁴ =

а₃₂ а₃₃ а₃₁ а₃₃ а₃₁ а₃₂

= а₁₁а₂₂а₃₃-а₁₁а₃₂а₂₃+а₁₂а₂₁а₃₃-а₁₂а₃₁а₂₃+а₁₃а₂₁а₃₂-а₁₃а₃₁а₂₂= |А|.

Приклад: обчислити

2 1 -3 4 1 -2 1 -2 4

А= -2 4 1 за елементами 1 рядка 2(-1)² + 1(-1)³ - 3(-1)⁴ =29

1 -1 2 -1 2 1 2 1 –1

Перевірити, розкладаючи за елементами другого стовпця.

Теорема 2. (анулювання).

Сума добутків елементів деякого рядка(стовпця) визначника на відповідні алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

Доведення :

а₂₂ а₂₃ а₂₁ а₂₃ а₂₁ а₂₂

а₃₁ - а₃₂ + а₃₃ = а₃₁а₂₂а₃₃-а₃₁а₃₂а₂₃-а₃₂а₂₁а₃₃+а₃₂а₃₁а₂₃+

а₃₂ а₃₃ а₃₁ а₃₃ а₃₁ а₃₂ +а₃₃а₂₁а₃₂-а₃₃а₃₁а₂₂= 0

Як можна обчислити визначник III порядку?

Правила обчислення визначників третього порядку:

1.Правило трикутника (Саррюса).

2.Правило розкладу за елементами рядка (стовпця) теорема 1.

3.Метод занулення (властивість 8 та теорема 2.)

Приклад:

2 1 -3 накопичуємо “0” в першому стовпці; елемент 3-го рядка

D = -2 4 1 Þ помножимо на ”-2” і складемо з елементами 1-го рядка;

1 -1 2 елементи 3-го рядка множимо на “2” і складаємо з

0 3 -7 3 -7

елементами 2-го рядка Þ 0 2 5 = 1× (-1)⁴ = 29

1 -1 2 2 5

§5. Визначники матриць n-гo порядку (n ³ 4)

Чи можемо обчислити визначник n-го порядку за методом D-а?

Означення 1. Визначником матриці п-го порядку називається сума добутків елементів і-го рядка на їх алгебраїчні доповнення.

Всі властивості визначників другого порядку справедливі і для визначників n-го порядку.

Обчислюються визначники n-го порядку методом занулення. Правило трикутника справедливе тільки для визначників третього порядку.