Тема. Розв’язання логарифмічних нерівностей
РОЗВ’ЯЗАННЯ ПОКАЗНИКОВИХ І ЛОГАРИФМІЧНИХ РІВНЯНЬ
Додаткові вправи
- Розв'язати показникове рівняння:
| 1. = 2. = 3. = 4.3х = 19х | 1.7х+2 + 4*7х+1 = 539 2. = 4 3.3х + 3х+1 = 108 4.4х+1 +4х = 320 5.2*3х+1 – 3х = 15 6.3*5х+3 + 2*5х+1 = 77 7.3х+1 2*3х-2 = 75 |
2. Розв'язати логарифмічне рівняння:
1. = 2 2. = -1 3. = - 4. = 2 5. = - 2 6. = 1 7. = 0 9. = 3 | 1. = x 2. = 3. = 0 4. = 5. = 0 6. | 1. 2. 3. log(x+3) – log(x-1) = 2 - log8 4. = |
План
1. Графік функції у = loga x, .
2. Рівносильні перетворення найпростіших логарифмічних нерівностей.
1. Графік функції у = loga x, . | ||||
зростає | спадає | |||
2. Рівносильні перетворення найпростіших логарифмічних нерівностей | ||||
Знак нерівності не змінюється, і враховується ОДЗ | Знак нерівності змінюється, і враховується ОДЗ | |||
Приклади | ||||
. ОДЗ: x – 5 > 0, тобто х > 5. Функція у = зростаюча, тоді х - 5 > 23, х > 13. Враховуючи ОДЗ, маємо х > 13. Відповідь: (13; + ). | . ОДЗ: x – 5 > 0, тобто х > 5. Функція в = спадна, тоді х - 5 <, х < 5. Враховуючи ОДЗ, маємо 5 < х < 5. Відповідь: (5; 5). | |||
3. Розв’язання більш складних логарифмічних нерівностей | ||||
Орієнтир | Приклад | |||
І. За допомогою рівносильних перетворень дану нерівність приводять до нерівності відомого виду. Схема рівносильних перетворень нерівності: 1. Ураховуємо ОДЗ заданої нерівності (і уникаємо перетворень, що приходять до звуження ОДЗ). 2. Стежимо за тим, щоб на ОДЗ кожне перетворення можна було виконати як у прямому, так і у зворотному напрямках із збереженням вірної нерівності | ОДЗ: x > 0. На цій ОДЗ дана нерівність рівносильна нерівностям: , . Заміна: . Тоді, тобто . Рішення цієї нерівності або Обернена заміна дає або . Тоді або . Враховуючи, що функція у = lg x є зростаючої, одержуємо: або . За ОДЗ маємо: 0 < x 0,01 або . Відповідь: . | |||
ІІ. Застосовується загальний метод інтервалів (дана нерівність приводиться до нерівності, ) і використовується схема: 1. Знайти ОДЗ; 2. Знайти нулі ; 3. Відзначити нулі функції на ОДЗ і знайти знак на кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ; 4. Записати відповідь, враховуючи знак нерівності. |
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів. Воно рівносильне нерівності .
Позначимо .
1. ОДЗ: тобто
2. Нулі функції: . .
Тоді . На ОДЗ це рівняння рівносильне рівнянню 2х + 3 = х2 (отриманому за означенням логарифма).
Тобто х2 - 2х - 3 = 0,
х1 = -1, х2 = 3.
В ОДЗ входить тільки х = 3. Отже, має єдиний нуль функції х = 3.
3. Відзначаємо нулі функції на ОДЗ, знаходимо знак на кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ, і записуємо рішення нерівності .
Відповідь: х (0; 1) (3; +) |
Вправи
Розв'язати нерівність
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) .