Тема. Розв’язання логарифмічних рівнянь
Вправи
1. Знайдіть область визначення функції:
1) у = log11 (2х + 6);
2) у = 
;
3) у = 
;
4) у = 
;
5) у = 
.
2. Зобразити схематично графік функції:
1) у = 
;
2) у = 
;
3) у = 
;
4) у = 
;
5) у = 
;
6) у = 
;
7) у = 
;
8) у = 
;
9) у = 
;
10) у = 
;
11) у = 
.
3. Порівняйте числа:
1) 
і 
;
2) 
і 
;
3) 
і 
;
4) 
і 
;
5) 
і 0;
6) 
і 1.
План
1. Розв’язання найпростіших логарифмічних рівнянь.
2. Використання рівнянь - наслідків.
3. Рівносильні перетворення логарифмічних рівнянь.
| 1. Розв’язання найпростіших логарифмічних рівнянь | |
| Орієнтир | Приклад |
Якщо а – число ( ), то
(використовуємо визначення логарифма)
| 
х – 1 = 32,
х = 9 + 1,
х = 10.
Відповідь: 10
|
| 2. Використання рівнянь - наслідків | |
| Орієнтир | Приклад |
| Якщо із припущення, що перша рівність вірна, випливає, що кожне наступне вірно, те гарантуємо, що одержуємо рівняння-наслідок. При використанні рівнянь – наслідків не відбувається втрати коренів вихідного рівняння, але можлива поява стороннього кореня. Тому перевірка отриманого кореня підстановкою у початкове рівняння є складовою частиною розв’язання. | 
За визначенням логарифма одержуємо
х + 2 = х2,
х2 – х – 2 = 0,
х1 = -1, х2 = 2.
Перевірка: х = -1 – сторонній корінь (в основі логарифма одержуємо від’ємне число); х = 2 – корінь, тому що
Відповідь: 2
|
| 3. Рівносильні перетворення логарифмічних рівнянь | |
| Заміна змінних | |
| Орієнтир | Приклад |
| Якщо в рівняння (нерівність або тотожність) змінна входить у тому самому виді, то зручно відповідний вираз зі змінною позначити однієї буквою (новою змінною). |  .
Заміна: ,
 ,
 .
Отже,  або  .
Тоді х = 10-1 = 0,1 або х = 103 = 1000.
Відповідь: 0,1; 1000.
|
Рівняння виду  ()
| |
| Орієнтир | Приклад |
(враховуємо ОДЗ і дорівнюємо вирази, які стоять під знаками логарифмів)
| 
ОДЗ: 
На цій ОДЗ дане рівняння рівносильне рівнянням: х2 – 2 = 4х – 5,
х2 – 4х + 3 = 0,
х1 = 1, х2 = 3,
х1 = 1 – сторонній корінь (не задовольняє умовам ОДЗ);
х2 = 3 – корінь (задовольняє умовам ОДЗ).
Відповідь: 3
|
| Рівносильні перетворення рівнянь в інших випадках | |
| Орієнтир | Приклад |
| 1. Ураховуємо ОДЗ даного рівняння ( і уникаємо перетворень, що приводять до звуження ОДЗ); 2. Стежимо за тим, щоб на ОДЗ кожне перетворення можна було виконати як у прямому, так і у зворотному напрямках зі збереженням вірної рівності | 
ОДЗ: 
На цій ОДЗ дане рівняння рівносильне рівнянням:
 ,
 ,
 ,
 ,
х1 = 1, х2 = -5,
х1 = 1 – корінь (задовольняє умовам ОДЗ);
х2 = -5 – сторонній корінь (не задовольняє умовам ОДЗ).
Відповідь: 1.
|
Вправи
1. Розв'язати рівняння:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
;
9) 
;
10) 
;
11) 
;
12) 
.