Нормальний розподіл

Нормальнимназивають розподіл ймовірності неперервної випадкової величини Х, густина якого має вигляд:

де α — математичне сподівання,σ— середнє квадратичне відхилення X. Ймовірність того, що X набуде значення, яке належить інтервалу (α,β)

де — функція Лапласа.

Ймовірність того, що абсолютна величина відхилення менше додатного числа σ:

Зокрема, при α= 0 справедлива рівність:

Мода і медіана нормального розподілу відповідно рівні:

146. Математичне сподівання нормально розподіленої випадкової величини X дорівнює α= 3 і середнє квадратичне відхилення σ= 2. Записати густину ймовірності X.

147. Записати густину ймовірності нормально розподіленої випадкової величини X, якщо M(X) = 3, D(Х) =16.

148. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини X відповідно рівні 10 і 2. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування X набуде значення з інтервалу (12, 14).

Розв'язання: Скористаємося формулою:

Підставивши σ=12, β= 14, α =10 і δ= 2, отримаємо Р (12 < X < 14) = = Ф(2) - Ф(1). За таблицею додатка 2 знаходимо: Ф(2) = 0,4772, Ф(1) = =0,3413. Шукана ймовірність Р (12 < X < 14) = 0,1359.

149. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини X відповідно рівні 20 і 5. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування X набуде значення з інтервалу (15, 25).

150. Автомат штампує деталі. Контролюється довжина деталі X, яка розподілена нормально з математичним сподіванням (проектною довжиною), рівним 50 мм. Фактично довжина виготовлених деталей не менше 32 мм і не більше 68 мм. Знайти ймовірність того, що довжина навмання взятої деталі: а) більше 55 мм; б) менше 40 мм.

Вказівка: З рівності Р (32 < X < 68) = 1 спочатку знайти у.

151. Проводиться вимірювання діаметра валу без систематичних (одного знаку) помилок. Випадкові помилки вимірювання X підпорядковані нормальному закону з середнім квадратичним відхиленням у = 10мм. Знайти ймовірність того, що вимірювання буде проведене з помилкою, яка не перевершує по абсолютній величині 15 мм.

Розв'язання: Математичне сподівання випадкових помилок дорівнює нулю, тому застосовна формула Р (|X| < δ) = 2Ф(δ/σ). Поклавши δ = 15, σ = 10, знаходимо Р (|X| < 15) = 2Ф(1,5). За таблицею додатка 2 знаходимо Ф(1,5) = =0,4332. Шукана ймовірність

152. Виконується зважування деякої речовини без систематичних помилок. Випадкові помилки зважування підпорядковані нормальному закону з середнім квадратичним відхиленням σ= 20 г. Знайти ймовірність того, що зважування буде проведене з помилкою, яка не перевершує по абсолютній величині 10 г.

153. Випадкові помилки вимірювання підпорядковані нормальному закону з середнім квадратичним відхиленням σ= 20 мм і математичним сподівання α= 0. Знайти ймовірність того, що з трьох незалежних вимірів помилка хоч би одного не перевищить по абсолютній величині 4 мм.

154. Автомат виготовляє кульки. Кулька вважається придатною, якщо відхилення X діаметру кульки від проектного розміру по абсолютній величині менше 0,7 мм. Вважаючи, що випадкова величина X розподілена нормально з середнім квадратичним відхиленням у = 0,4 мм, знайти, скільки в середньому буде придатних кульок серед ста виготовлених.

Розв'язання: Оскільки X — відхилення (діаметру кульки від проектного розміру), то М(Х) = α= 0. Скористаємося формулою Р(|Х| < с) = 2Ф (δ/σ). Підставивши δ= 0,7, σ= 0,4. отримаємо:

Таким чином, ймовірність відхилення, меншого 0,7 мм, рівна 0,92. Звідси випливає, що приблизно 92 кульки з 100 виявляться придатними.

155. Деталь, виготовлена автоматом, вважається придатною, якщо відхилення розміру, який контролюється від проектного не перевищує 10мм. Випадкові відхилення розміру контролюється, від проектного, підпорядковані нормальному закону з середнім квадратичним відхиленням 5 мм і математичним сподіванням а = 0. Скільки відсотків придатних деталей виготовляє автомат?

156. Випадкова величина X розподілена нормально з математичним сподіванням а = 10. Ймовірність попадання X в інтервал (10, 20) рівна 0,3. Чому дорівнює ймовірність попадання X в інтервал (0, 10)?

157. Випадкова величина X розподілена нормально з математичним сподіванням а = 25. Ймовірність попадання X в інтервал (10, 15) рівна 0,2. Чому дорівнює ймовірність попадання X в інтервалі (35, 40)?

158. Довести, що P(|X – a| < t) = 2Ф(t), тобто, що значення подвоєної функції Лапласа при заданому t визначає ймовірність того, що відхилення X–a нормально розподіленої випадкової величини X по абсолютній величині менше t.

159. Випадкова величина X розподілена нормально з математичним сподіванням а = 10 і середнім квадратичним відхиленням = 5. Знайти інтервал, симетричний відносно математичного сподівання, в який з ймовірністю 0,9973 потрапить величина X в результаті випробування.

160. Випадкова величина X розподілена нормально з середнім квадратичним відхиленням = 5 мм. Знайти довжину інтервалу, симетричного відносно математичного сподівання, в який з ймовірністю 0,9973 потрапить величина X в результаті випробування.

161. Станок-автомат виготовляє циліндри, причому контролюється їх діаметр Х. Вважаючи, що Х – нормально розподілена випадкова величина з математичним сподіванням а=10мм. і середнім квадратичним відхиленням =0,1мм. Знайти інтервал, симетричний відносно математичного сподівання якому з ймовірністю 0,9973 будуть належати діаметри виготовлених циліндрів.