Локальна теорема Лапласа

Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події рівна р(0 < р < 1), подія наступить рівно k раз (все одно, в якій послідовності), приблизно рівна (тим точніше, чим більше n)

Тут

Таблиця функції q>(x) для додатних значень х наведено в додатку 1; для від’ємних значень х користуються цією ж таблицею [функція q>(х) парна, отже, φ (- x)= φ(x) ].

Інтегральна теорема Лапласа. Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких Ймовірність появи події рівна р(0 < р < 1), подія наступить не менше k₁ раз і не більш k₂ приблизно дорівнює

P(k₁;k₂)=Ф()-Ф( )

Тут

- функція Лапласа,

Таблиця функції Лапласа для додатних значень х() наведена в додатку 2; для значень х>5 вважають Ф(х)=0,5. Для негативних значень х використовують цю ж таблицю, враховуючи, що функція Лапласа непарна [Ф(-х)=-Ф(х)].

53. Знайти ймовірність того, що подія А відбудеться рівно 70 разів в 243 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні рівна 0,25.

54. Знайти ймовірність того, що подія А відбудеться 1400 разів в 2400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні рівна 0,6.

55. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі рівна 0,8. Знайти вірогідність того, що при 100 пострілах мішень буде уражена рівно 75 разів.

56. Ймовірність народження хлопчика рівна 0,51. Знайти ймовірність того, що серед 100 новонароджених виявиться 50 хлопчиків.

57. Монета кинута 2N разів {N велике!). Знайти ймовірність того, що «герб» випаде рівно N разів.

58. Ймовірність появи події в кожному з 100 незалежних випробувань стала і рівна р= 0,8. Знайти ймовірність того, що подія з’явиться: а) не менше 75 раз і не більше 90 разів

Розв’язок . Скористаємося інтегральною теоремою Лапласа:

Де Ф(х)- функція Лапласа,

а) За умовою, n = 100; р=0,8 ; g=0,2; k₁=75; k₂=90. Обчислимо і х '':

Враховуючи, що функція Лапласа непарна, тобто Ф (-х) = -Ф (х:), отримаємо

За таблицею у додатку 2 знайдемо:

Шукана ймовірність

59. Ймовірність появи події в кожному з 2100 незалежних випробувань рівна 0,7. Знайти ймовірність того, що подія з’явиться: а) не менше 1470 і не більше 1500 разів; би) не менше 1470 разів; у) не більше 1469 разів.

60. Ймовірність появи події в кожному з 21 незалежних випробувань рівна 0,7. Знайти ймовірність того, що подія з’явиться в більшості випробувань.

61. Ймовірність появи події в кожному з незалежних випробувань рівна 0,8. Скільки потрібно виконати випробувань, щоб з ймовірність 0,9 можна було очікувати, що подія з’явиться не менше 75 разів?

Розв’язання. За умовою р=0,8; g= 0,2; k₁ = 75; k₂ = n; Р_n = (75,n)=0,9.

Скористаємося інтегральною теоремою Лапласа:

Підставляючи дані завдання, отримаємо

або

Очевидно, число випробувань n > 75, тому

Оскільки функція Лапласа - що зростає і , то можна покласти Отже,

.

Таким чином,

(*)

За таблицею у додатку 2 знайдемо Ф (1,28)= 0,4. Звідси і співвідношення (*), враховуючи, що функція Лапласа непарна, отримаємо

Розв’язавши це рівняння, як квадратне відносно , отримаємо . Отже, шукане число випробувань n=100.

62. Ймовірність появи позитивного результату в кожному з n дослідів рівна 0,9. Скільки потрібно провести дослідів, щоб з ймовірність 0,98 можна було очікувати, що не менше 150 дослідів дадуть позитивний результат?