Формула Байєса

 

Нехай подія А може настати лише за умови появи одного з несумісних подій (гіпотез) В1, В2,..., Вn, які утворюють повну групу подій. Якщо подія А вже сталося, то ймовірності гіпотез можуть бути переоцінені за формулами Байєса

41. Два автомата виробляють однакові деталі, які поступають на загальний конвеєр. Продуктивність першого автомата вдвічі більше продуктивності друге. Перший автомат виробляє в середньому 60% деталей відмінної якості, а другий - 84%.Навмання взята з конвеєра деталь виявилась відмінної якості. Знайти ймовірність того, що ця деталь вироблена першим автоматом.

Розв’язання. Позначимо через А подію-деталь відмінної якості. Можна зробити два припущення (гіпотези): В1 – деталь, вироблена першим автоматом, причому (оскільки перший автомат виробляє вдвічі більше деталей, ніж другий) Р(В1) = 2 / 3; В2 деталь, вироблена другим автоматом, причому Р(В2)=1/3. Умовна ймовірність того, що деталь буде відмінної якості, якщо вона зроблена перша автоматом, Рb1 (А) = 0,6. Умовна ймовірність того, що деталь буде відмінної якості, якщо вона зроблена другим автоматом, Рb2 (А) = 0,84. Імовірність того, що навмання взята деталь виявиться відмінної якості, за формулою повної ймовірності дорівнює

Бажана ймовірність того, що взята відмінна деталь вироблена першим автоматом, за формулою Бейеса дорівнює

42. У піраміді 10 гвинтівок, з яких 4 забезпечені оптичним прицілом. Імовірність того, що стрілець вразить мішень при пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом, дорівнює 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,8.Стрілець вразив мішень з навмання взятої гвинтівки. Що ймовірніше: стрілець стріляв з гвинтівки з оптичним прицілом чи без нього?

43. Число вантажних автомашин, що проїжджають по шосе, на якому стоїть бензоколонка, відноситься до числа легкових машин, що проїжджають по тому ж шосе як 3:2. Імовірність того, що буде заправлятися вантажна машина, дорівнює 0,1; для легкової машини ця ймовірність дорівнює 0,2. До бензоколонки під’їхала для заправки машина. Знайти ймовірність того, що це вантажна машина.

44. У спеціалізовану лікарню надходять в середньому 50% хворих з захворюванням K, 30%- з захворюванням L, 20%- з захворюванням М. Вірогідність повного лікування хвороби К дорівнює 0,7; для хвороб L і М ці ймовірності відповідно рівні 0,8 і 0,9. Хворий, що надійшов до лікарні, був виписаний здоровим. Знайти ймовірність того, що цей хворий страждав захворюванням К.

45. Виріб перевіряється на стандартність одним з двох товарознавців. Імовірність того, що цей продукт потрапить до першого товарознавця, дорівнює 0,55, а до другого - 0,45.Імовірність того, що стандартний виріб буде визнано стандартним першим товарознавцем, дорівнює 0,9, а друга - 0,98. Стандартний виріб при перевірці було визнано стандартним. Знайти ймовірність того, що цей виріб перевірив другий товарознавець.

46. Батарея з трьох гармат справила залп, причому два снаряди влучили в ціль. Знайти ймовірність того, що перший снаряд дав попадання, якщо ймовірності попадання в ціль першого, другого і третього снарядів, відповідно, рівні р1 = 0,4, р2 = 0,3, p3 = 0,5.

Розв’язання. Позначимо через А подію - дві гармати потрапили в ціль. Зробимо два припущення (гіпотези): В1- перший снаряд потрапив в ціль; В1- перший снаряд не потрапив в ціль.

За умовою, Р (B1) = 0,4; отже (подія В2 протилежно події В1),

P (В2) = 1-0,4 = 0,6.

Знайдемо умовну ймовірність Рb1 (А), тобто ймовірність того, що в ціль потрапило два снаряди, причому один з них посланий перших знаряддям і, отже, другий - або другого знаряддя (при цьому третє знаряддя дало промах), або третє ( при цьому другий знаряддя дало промах).Ці дві події несумісні, тому застосовна теорема додавання:

Рb1 (A) = p2* pз + p3* q2 = 0,3 * 0,5 + 0,5 * 0,7 = 0,5.

Знайдемо умовну ймовірність Рb2 (А), тобто ймовірність того, що в ціль потрапило два снаряди, причому перше знаряддя дало промах. Іншими словами, знайдемо вірогідність того, що друге і третє знаряддя потрапили в ціль. Ці дві події незалежні, тому застосовується теорема множення:

Pb2 (A) = p2 * p3 = 0,3 * 0,5 = 0,15.

Бажана ймовірність того, що перше знаряддя дало попадання, за формулою Бейеса дорівнює

 

47. Три стрілка зробили залп, причому дві кулі вразили мішень. Знайти ймовірність того, що третій стрілок вразив мішень, якщо ймовірності попадання в мішень першого, другого і третього стрілками відповідно рівні 0,6, 0,5 і 0,4.

48.Маємо дві партії однакових виробів. Перша складається з 15 стандартних і 4 нестандартних, друга — із 18 стандартних і 5 нестандартних виробів. Із навмання вибраної партії взято один виріб, який виявився стандартним. Знайти ймовірність того, що другий навмання взятий виріб також буде стандартним.

49.Деталі на конвеєр надходять із двох автоматів. Від першого — 60 %, від другого — 40 %. Перший автомат дає 2 %, а другий — 1 % браку. Деталь, яка надійшла на конвеєр, виявилась стандартною. Знайти ймовірність того, що цю деталь виготовлено:

1) першим автоматом; 2) другим автоматом.