Идеализированные модели гидродинамической структуры потоков

Математические модели потоков классифицируют, основываясь на виде функции распределения времени пребывания. Наиболее простыми из них являются модели идеального вытеснения и идеального смешения.

Модель идеального вытеснения (МИВ)

В аппарате идеального вытеснения частицы потока движутся параллельно друг другу с одинаковой скоростью, поперечное ( по сечению потока) и продольное (по длине потока) перемешивание частиц отсутствует. Поэтому время пребывания всех частиц в аппарате одинаково и равно среднему времени τ, определяемому соотношением (6.1).

Математическое описание МИВ можно получить из материального баланса элемента аппарата по индикатору:

Q δС δτ= - S δx δС

где S – площадь поперечного сечения аппарата;

х – длина пути потока.

Знак δ означает бесконечно малое приращение.

Тогда (6.2)

где w- средняя скорость движения жидкости.

Кривая отклика в аппарате идеального вытеснения при импульсном вводе индикатора представлена на рис. 6.2, из которого следует, что, начиная с момента τ = 0, когда индикатор был введен во входящий поток, и до момента τ = τ_вых. индикатор в выходящем потоке не обнаруживался. При τ = τ_вых. концентрация индикатора мгновенно возрастает (теоретически, если бы индикатор вводился за время, равное нулю, до бесконечности), а затем также мгновенно снижается до нуля.

Рис. 6.2. Кривая отклика при импульсном вводе индикатора в аппарат идеального вытеснения.

Таким образом, в аппарате идеального вытеснения индикатор проходит через него неразмытым тончайшим слоем. Любое отклонение от идеального вытеснения часто называют перемешиванием или обратным перемешиванием.

К модели идеального вытеснения наиболее близки аппараты, выполненные из длинных трубок, цилиндрические аппараты небольшого диаметра, но значительной высоты, заполненные зернистым материалом (сорбентом, катализатором, насадкой и т.д.).

Модель идеального смешения (МИС)

Если в аппарат, в котором структура потоков соответствует МИС (например, аппарат с мешалкой) импульсно ввести индикатор (краситель), то весь объем жидкости в таком аппарате мгновенно и равномерно окрасится (начальная концентрация индикатора при этом С₀ (рис 6.3). После этого концентрация индикатора начнет убывать во времени, так как индикатор непрерывно выносится потоком, а входящая жидкость индикатора уже не содержит.

Рис. 6.3. Кривая отклика при импульсном вводе индикатора в аппарат идеального смешения.

Однако в любой момент времени концентрация индикатора будет оставаться одинаковой во всех точках аппарата. Таким образом, в аппаратах идеального смешения концентрация на входе в аппарат изменяется скачкообразно (мгновенно) – от значений на входе в аппарат (С₀) до выходных или текущих значений С. Время пребывания частиц потока в аппарате идеального смешения распределено неравномерно: некоторые частицы жидкости в результате, например, действия мешалки сразу попадут близко к выходу из аппарата и выйдут из него, а некоторые частицы надолго задержатся в аппарате.

Кривая отклика в аппарате идеального смешения при мгновенном вводе индикатора представлена на рис. 6.3.

Математическое описание МИС получают из материального баланса по индикатору для аппарата (при условии постоянства объема жидкости в нем).

Количество индикатора, выходящего из аппарата за произвольный промежуток времени dτ составит С Q dτ, что приведет к изменению (-dc) концентрации индикатора на величину Va dC, т.е.

-V_a dc = С Q dτ

где V_a – объем рабочей зоны аппарата;

Q – объемный расход потока.

Откуда _а,

а с учетом выражения (6.1)

Проинтегрируем последнее уравнение в пределах от С₀ (при τ = 0 ) до С (в произвольный момент времени τ)

Получим:

или с = е^- (6.4)

- безразмерное время.

К аппаратам идеального смешения близки сосуды с интенсивным перемешиванием, аппараты с псевдосжиженным слоем (сушилки, адсорберы и т.п.) и др.

Отметим, что каждый из идеальных потоков отличает предельная равномерность: для МИВ – равномерность скоростей и времени пребывания, для МИС – равномерность концентраций (а также температуры) по объему аппарата. Равномерность времени пребывания способствует более глубокому протеканию процессов переноса массы и энергии.

На рис. 6.4 показано изменение концентрации компонентов в потоках по длине аппарата при одинаковых для МИВ и МИС начальных и конечных концентрациях компонента (это возможно только, если объем аппарата МИС больше объема аппарата МИВ)

Рис.6.4 Изменение концентрации в потоке по длине аппарата идеального вытеснения (1) и идеального смешения (2).

Из рис. 6.4 видно, что концентрация в аппарате МИВ больше, чем в аппарате МИС. Следовательно, и движущая сила процесса переноса массы для МИВ будет больше.