Візьмемо вираз першого закону теплотехніки в канонічному вигляді та через ентальпію . Помножимо обидві частини обох рівнянь на інтегруючий множник . Та
шити на 30%.
2.8 Тепловіддача при турбулентному русі теплоносія в трубі
- ділянка гідродинамічної стабілізації потоку. Така картина спостерігається при умові ізотермічного потоку.
Ця ділянка стабілізації потоку складатиме:
При ламінарній течії
При турбулентній .
Явище тепловіддачі в горизонтальній трубі досліджував в 20-30 р. 19 ст Нуссельт вперше він отримав критеріальне рівняння
коефіцієнти приймаються с = 0,021 , n = 0,8 , m = 0,43 . - температура теплоносія в ядрі потоку. Коефіцієнт залежить від відношення і визначається з таблиць або за рівнянням. При . Визначальним розміром є . Рівняння можна застосувати не тільки для круглих труб, а і для каналів різної форми. Тоді застосовується еквівалентний діаметр .
2.9 Тепловіддача при поперечному обтіканні труби та жмутків труб
кож приймемо, що , а . В результаті для першого рівняння ми провевши відповідні підстановки отримаємо (1). Згідно рівняння стану Клапейрона . Тоді . Аналогічно провівши перетворення другого рівняння через ентальпію отримаємо: .
Ми отримали вираз для повного диференціала функції – ентропії. Отже Ентропія –функція стану, диференціал якої рівний відношенню нескінченно малого приросту теплотив елементарному оборотному процесі до абсолютної температури, постійної на нескінченно малій ділянці процесу.Розмірність .
Якщо кількість теплоти віднести до 1 кг речовини то отримаємо питому ентропію яка виражається в .
Ну і питома ентропія як і інші функції стану є величина екстенсивна, тобто підлягає правила аддитивності. Алгебраїчна сума питомих ентропій окремих тіл, які входять в термодинамічну систему, рівна питомій ентропії термодинамічної системи в цілому.
Оскільки в технічній термодинаміці необхідно знати тільки зміну питомої ентропії в тому чи іншому процесі, деякому її певному стану (наприклад Т = 0 К) умовно приписують значення рівне 0.
А для чого потрібне поняття ентропії? А за характером зміни ентропії можна судити про характер теплообміну – коли ентропія збільшується, теплота підводиться, а коли ентропія зменшується то теплота відводиться.
В той же час величини що входять в рівняння критерію Рейнольдса можуть мати безліч різних значень. Так само і з іншими критеріями подібності.
Наприклад визначивши залежність для визначення критерію Нуссельта при нормальних умовах можна за отриманою залежністю визначити коефіцієнт тепловіддачі в апараті при робочих умовах газового потоку при його транспорті. При цьому обов’язково необхідно щоб виконувалися вище зазначені умови моделювання.
А тепер розглянемо які залежності можуть бути застосовані при різних випадках конвективного теплообміну.
2.7 Тепловіддача (конвекція) при природному русі теплоносія в необмеженому об’ємі.
Це рівняння справедливо для природної конвекції і для горизонтальних і для вертикальних поверхонь. - показує визначальну температуру.
Для вертикально розміщеної поверхні визначальним розміром є висота цієї поверхні . А якщо труба горизонтальна тоді .
Коефіцієнти і набувають різних значень:
- для горизонтальних труб при , .
- для вертикальних труб і плит при , .
а при , .
Маючи значення критерію Нуссельта можна визначити коефіцієнт тепловіддачі при інших умовах
Якщо нагріта поверхня обернена вверх то вирахуваний коефіцієнт тепловіддачі треба збільшити на 30%, а якщо вниз тоді змен
Зобразимо для прикладу якийсь довільний процес в діаграмі стану з координатами Т і S. В даній діаграмі площа фігури під лінією процесу рівна підведеній до РТ теплоті – оскільки ентропія зросла то теплота підведена. .
Та три калоричні параметри стану або функції стану , , .
3. Термодинамічні процеси ідеальних газів
3.1. Аналіз рівноважного ізохорного термодинамічного процесу.
Рівноважний термодинамічний процес, який протікає за умови незмінного об’єму процесу називається ізохорним.Отже для цього процесу. Запишемо рівняння Клапейрона для початкового та кінцевого станів у процесі ; . Поділивши одне рівняння на друге отримаємо рівняння зв’язку між параметрами в процесі (закон Шарля).
Зобразимо ізохорний процес в робочій та тепловій діаграмах стану.
Запишемо рівняння першого закону теплотехніки в класичній формі.
Всі вирази для визначення критеріїв подібності виводяться з системи диференціальних рівнянь конвективного теплообміну.
Критерії діляться на групи:
- визначальні – про які іде мова в 3 теоремі подібності;
- визначувані – всі інші, вони залежать від визначальних. Наприклад один з них.
Параметри які входять до рівнянь критеріїв , , повинні бути задані умовами однозначності. Наприклад задається визначальна температура – при якій температурі визначаються теплофізичні властивості теплоносія. Також задається визначальний розмір.
2.6 Умови подібності процесів конвективного теплообміну
Явища тепловіддачі ділять на дві великі групи – вільна і вимушена. І відповідно для опису кожного з варіантів тепловіддачі використовують свої числа подібності.
Природна Вимушена
Нестаціонарна
Стаціонарна
Проводиться експеримент завдяки якому отримують необхідні числа подібності. При цьому обов’язково вказують визначальні температуру і розміри. При перехідному стаціонарному теплообміні залежність може мати вигляд . Для більш повної характеристики процесу до рівнянь вводять безрозмірні симплекси подібності . А дальше завдяки моделюванню вивчені на моделі процеси та отримані залежності переносять на натурні взірці. При цьому необхідно дотримуватися певних умов подібності:
1. моделювати можна тільки якісно одинакові процеси, такі які мають однакову фізичну природу і описуються однаковими диференціальними рівняннями,
2. умови однозначності повинні бути одинакові у всьому крім числових значень сталих, наприклад необхідна геометрична подібність взірця і моделі,
3. однойменні критерії подібності для моделі і взірця повинні мати однакові числові значення.
Наприклад для моделі і для взірця повинно бути що .
оскільки у нас , то робота процесу буде тоді
Питома теплота ізохорного процесу або абсолютна теплота .
Зміна питомої внутрішньої енергії аналогічно або .
Зміна питомої ентальпії або зміна абсолютної ентальпії .
Зміна питомої ентропії і знову зміна
3.2. Аналіз ізобарного термодинамічного процесу.
Рівноважний термодинамічний процес, який протікає за умови сталого абсолютного тиску називається ізобарним.Отже для цього процесу. Запишемо рівняння Клапейрона для початкового та кінцевого станів у процесі ; . Поділивши одне рівняння на друге отримаємо рівняння зв’язку між параметрами в процесі - закон Гей-Люссака.
Зобразимо ізобарний процес в робочій та тепловій діаграмах стану.
дібності одинакові.
2.5 Критерії подібності конвективного теплообміну
Аналіз рівнянь конвективного теплообміну дозволяє отримати наступні основні критерії або числа подібності:
- критерій Грасгофа який характеризує підйомну силу, яка виникає внаслідок різної густини теплоносія, або співвідношення між силами Архімеда і силами в’язкого тертя. Доводить подібність гідродинамічну при природній конвекції. Визначається за формулою де - коефіцієнт об’ємного розширення; ; - визначальний лінійний розмір (найбільш характерний); - коефіцієнт кінематичної в’язкості.
- критерій Рейнольдса – характеризує співвідношення між силами інерції і силами в’язкого тертя, або режим руху теплоносія при вимушеній конвекції. Визначається - де - швидкість руху теплоносія; - густина теплоносія, - коефіцієнт динамічної в’язкості. Наприклад для круглих труб при - ламінарний режим; а при - турбулентний режим.
- критерій Фур’є вводиться коли вивчається нестаціонарна тепловіддача. Визначається - - коефіцієнт температуропровідності, - час.
- критерій Пеклє – характеризує співвідношення між тепловим потоком що передається макрорухом до мікрорухів (відношення між теплопровідністю та тепловіддачею). Визначається . Коли то переважає теплопровідність.
- критерій Прандтля (Людвіг Прандтля) – характеризує вплив теплофізичних властивостей на теплообмін або визначає фізичні властивості теплоносія. Визначається ;
- критерій Нуссельта – характеризує інтенсивність конвективного теплообміну на границі теплоносія. Визначається .
В ізобарному процесі ентропія змінюється сильніше за рахунок більшої теплоємності .
Запишемо рівняння першого закону термодинаміки через ентальпію . Оскільки , то - вся теплота, яка підводиться і відводиться іде на зміну ентальпії.
Теплота ізобарного процесу
Робота ізобарного процесу тоді
а при умові коли тоді . Можна записати що фізичний зміст - це робота зміни об’єму 1 кг газу в ізобарному процесі при .
Зміна внутрішньої енергії ізобарного процесу
Зміна ентальпії ізобарного процесу
Зміна ентропії і знову
3.3. Аналіз ізотермічного термодинамічного процесу.
Рівноважний термодинамічний процес, який протікає при незмінній абсолютній температурі називається ізотермічним. Отже для цього процесу . Запишемо рівняння Клапейрона для початкового та кінцевого станів у процесі ;
вняння тепловіддачі.
Але існуючі математичні методи ще не дійшли до розв’язку цієї системи рівнянь. А як же бути (як визначити коефіцієнт тепловіддачі) – доводиться цю задачу розв’язувати експериментальним шляхом. Тепловий потік можна знайти з першого закону термодинаміки. Ми отримуємо коефіцієнт тепловіддачі для певних дослідних умов. А нам треба розповсюдити результати одиничного досліду на цілу групу явищ. Що дозволяє зробити теорія подібності. Вперше поняття подібності введено в геометрії де конкретні геометричні розміри тіл замінялися безрозмірними величинами що давало можливість одним рівнянням описати цілу групу подібних геометричних тіл. Поняття подібності розповсюджується на любе фізичне явище. Фізичні явища рахуються подібними, якщо вони відносяться до одного і того ж класу, протікають в геометрично подібних системах і подібні всі однорідні фізичні величини, які описують ці явища. Однорідниминазиваються такі величини, які мають один і той же фізичний зміст і однакову розмірність.
Теорія подібності зосереджена в 3 теоремах подібності: перша і друга формулюють основні властивості подібних між собою явищ, а третя встановлює признаки, за якими можна визначити чи подібні явища які розглядуються.
Перша: подібні явища мають однакові критерії подібності.
Критерії подібності – безрозмірні комплекси, які однакові для всього класу подібних явищ. Вони виводяться з диференціальних або інтегральних рівнянь, що описують дане явище. Які існують критерії подібності зупинимося пізніше.
Друга теорема:будь-яка залежність між величинами, які характеризують подібні явища може бути замінена залежністю між критеріями подібності. Остання залежність – критеріальне рівняння. . Теорема показує як треба обробляти отримані дослідні дані (яку форму критеріального рівняння вибрати).
Треті теорема: Подібні ті явища, умови однозначності яких подібні, а критерії подібності які складені з умов однозначності чисельно рівні. Або подібні ті явища у яких однойменні критерії по
. Прирівнявши одне рівняння до другого отримаємо рівняння зв’язку між параметрами в процесі: або - закон Бойля-Маріотта.
Зобразимо ізобарний процес в робочій та тепловій діаграмах стану У всіх діаграмах стану якщо процес іде зліва на право то теплота або робота підводиться і навпаки.
Запишемо перший закон термодинаміки оскільки , то і тоді
. З рівняння слідує що вся теплота іде на виконання роботи, що є дуже важливим в теплових машинах.
Теплота та робота ізотермічного процесу визначається: або
Зміна внутрішньої енергії ізотермічного процесу .
Зміна ентальпії ізотермічного процесу .
Теплоємність буде
Зміна ентропії ізотермічного процесу або .
3.4. Аналіз адіабатного процесу.
Рівноважний термодинамічний процес який протікає за умови відсутності теплообміну між робочим тілом та довкіллям називають адіабатним.
руху Нав’є-Стокса і рівняння суцільності руху отримуємо рівняння температурного поля. Знаючи рівняння температурного поля знаходять градієнт температури. Потім обраховують коефіцієнт тепловіддачі після чого можна використовувати рівняння Ньютона і знаходити величину теплового потоку. Такий теоретичний шлях визначення теплового потоку.
Для отримання рівняння теплового поля систему рівнянь треба інтегрувати а для цього треба добавити умови однозначності які призвані виділити з подібних об’єктів якийсь один об’єкт.
Умови однозначності є такі:
1. Геометричні – однозначно треба сказати що ми беремо в якості об’єкта це віконне скло шириною, висотою, поверхня гладка. Коло поверхні такий об’єм повітря.
2. Фізичні – в якості теплоносія використовується повітря. В’язкість така, густина така і тд.
3. Крайові або приграничні – вимірюємо температури повітря біля поверхні, на такій відстані така, а на такій – така.
4. Часові – якщо поле стаціонарне то відповідний доданок зникає, а якщо нестаціонарне тоді треба показати як температура теплоносія змінюється з часом.
Математичний опис процесів конвективного теплообмінускладається з повної системи диференціальних рівнянь (можна замість рівнянь Нав’є-Стокса прийняти і інші рівняння руху), додаються умови однозначності, додається диференціальне рівняння тепловіддачі.
Виявляється що на даний час цю систему диференціальних рівнянь ще ніхто не проінтегрував. Тому що існуючі математичні методи ще не дійшли до цього. А як же бути (як визначити коефіцієнт тепловіддачі) – доводиться цю задачу розв’язувати експериментальним шляхом.
2.4 Основи теорії подібності
Нагадаю що математичний опис процесів конвективного теплообмінускладається з повної системи диференціальних рівнянь (можна замість рівнянь Нав’є-Стокса прийняти і інші рівняння руху), додаються умови однозначності, додається диференціальне рі
Ідеальний адіабатний процес – коли відсутній зовнішній та внутрішній теплообмін.
- необхідна умова, але не достатня.
А от - достатня умова адіабатного процесу.
Виведемо рівняння адіабатного процесу.
Запишемо рівняння першого закону термодинаміки:
де де Оскільки то Поділимо одне рівняння на інше:
. Перетворимо рівняння - показник адіабати.
. Про інтегруємо . Отримаємо - логарифмічна форма рівняння адіабатного процесу. А провівши потенціювання отримаємо рівняння Пуассона або рівняння адіабатного процесу. .
Зобразимо адіабатний процес в робочій та тепловій діаграмах стану.
ний тоді . А якщо одномірний потік тоді наприклад . Або в інтегральному вигляді . І тепер система рівнянь замкнута і можна інтегруючи її отримати рівняння температурного поля. Але нам треба обрахувати тепловий потік. А в рівняння Ньютона-Ріхмана входить коефіцієнт тепловіддачі . То потрібно ще якесь рівняння щоб ми могли знайти тепловий потік. Це диференціальне рівняння тепловіддачі.
Візьмемо якусь елементарну ділянку поверхні. Температури стінки і теплоносія. Елементарний тепловий потік. Виділяємо пристінний шар в межах якого змінюється швидкість теплоносія. Температура значно змінюється в пристінному шарі і незначно в самому теплоносії. Це характерний графік зміни температури при конвективно му теплообміні. Через цей тонкий пристінний шар з ламінарним рухом теплоносія тепловий потік передається теплопровідністю рівняння Фур’є . Коли тепловий потік пройшов цей шар то він передається макрометодом. Рівняння Ньютона-Ріхмана . Це один і той самий тепловий потік. Якщо прирівняти праві частини отримаємо - це і є диференціальне рівняння тепловіддачі.
Таким чином використовуючи систему рівнянь до якої входять наприклад рівняння теплопровідності Фур’є-Кірхгофа, рівняння
Теплоємність адіабатного процесу .
Рівняння зв’язку між змінними параметрами стану: - ; - ; - .
Запишемо перший закон термодинаміки: , оскільки то .
Робота адіабатного процесу: або .
Зміна внутрішньої енергії ізобарного процесу .
Зміна ентальпії ізобарного процесу .
Оскільки тому .
3.5. Аналіз політропного процесу.
Рівноважний термодинамічний процес, який протікає за умови незмінної теплоємності робочого тіла протягом всього процесу називається політропним.
- питома масова політропна теплоємність.
виходячи з поняття теплоємності в політропному процесі .
Тоді - розподіл теплоти яка іде на виконання роботи і на зміну внутрішньої енергії є величиною незмінною протягом всього процесу.
Політропна теплоємність може бути - в сімействі політропних процесів.
часом - . Це фактично рівняння температурного поля. В цьому рівнянні - проекції руху теплоносія на координатні осі. - коефіцієнт температуропровідності. Позначимо для спрощення (- набла означає другу похідну по координатах).
Якщо тіло тверде то для нього відсутня швидкість і рівняння набуває вигляду .
Якщо поле стаціонарне тоді ще простіше - для твердого тіла стаціонарне трьохмірне температурне поле. А якщо одновимірне тоді .
Отже диференціальне рівняння Фур’є-Кірхгофа описує зміну температури в просторі і часі. Але в цьому рівнянні маємо 7 змінних величин. Його розв’язати неможливо. Тому необхідно додати інші рівняння наприклад рівняння руху теплоносія.
Можна взяти що теплоносій – рідина, крапельна нестислива. (Якщо взяти стисливе середовище то рівняння руху буде значно складніше). І для нього рівняння руху Нав’є-Стокса.
Аналогічно запишеться для осі і для осі . Для кожного рівняння змінною величиною виступає проекція швидкості на відповідну вісь. Отже отримали ще три рівняння. Ніби система стала замкнутою але в рівняннях руху з’явилася нова величина і знову система не замкнена. І ця система замикається рівняння нерозривності або суцільності руху теплоносія.
. Якщо потік стаціонар
Аналогічно як для адіабатного процесу можна вивести рівняння політропного процесу в логарифмічній формі та .
Величина , яка залежить від теплоємності політропного процесу називається показником політропи . Може приймати значення .
Тоді політропна теплоємність .
Теплота політропного процесу . Робота політропного процесу .
Зміна ентропії політропного процесу .
Зміна внутрішньої енергії ізобарного процесу .
Зміна ентальпії ізобарного процесу .
Залежність політропної теплоємності від показника політропи .
Політропний процес є узагальнюючим. Легко показати, що всі розглянути вище процеси – його похідні випадки.
дачі – тепловий потік який передається через одиницю виділеної поверхні при різниці температур твердої поверхні і теплоносія в один градус. Отже коефіцієнт тепловіддачі характеризує інтенсивність конвективного теплообміну при тепловіддачі. Розрізняють коефіцієнти тепловіддачі локальний і середній ....
Природна конвекція в газове середовище 5-10 Вт/(м2∙К).
Вимушена конвекція в газове середовище 10-500 Вт/(м2∙К)
Природна конвекція в воду 100-1000 Вт/(м2∙К)
Вимушена конвекція в воду 500-20000 Вт/(м2∙К)
Великі значення досягаються при зміні агрегатного стану (вода кипить) 2000-40000 Вт/(м2∙К).
Конденсація водяних парів 4000-15000 Вт/(м2∙К).
В результаті коефіцієнт тепловіддачі залежить від дуже багатьох факторів:
- від швидкості руху теплоносія (чи конвекція природна чи вимушена);
- від теплофізичних властивостей теплоносія ,
- геометричних розмірів та форми твердої поверхні;
- від напрямку передавання теплоти.
2.3 Диференціальні рівняння теплообміну.
Для отримання диференціального рівняння якого небудь явища (конвективний теплообмін). В межах цього явища виділяють нескінченно малий об’єм (наприклад пристінний шар повітря біля труби, біля скла, біля стіни). Нескінченно малий проміжок часу. Керуючись основними законами фізики складають рівняння яке описує явище в цьому нескінченно малому об’ємі. За допомогою диференціальних рівнянь не вирішують якісь кінцеві задачі – диференціальне рівняння спершу інтегрують, а потім додати до нього умови однозначності.
Є диференціальні рівняння які описують конвективний теплообмін. Основне з них диференціальне рівняння теплопровідності Фур’є-Кірхгофа. Його виводять на основі першого закону термодинаміки. . Дане рівняння зв’язує температуру з координатами простору та
Дійсно, рівняння чотирьох основних термодинамічних процесів можна отримати з рівняння політропного процесу при наступних значеннях показника політропи:
- ізобарний процес;
- ізотермічний процес.
- адіабатний процес.
- ізохорний процес.
Енергетичний аналіз (баланс енергії)
1. Якщо політропа розташована вище адіабати, яка розпочинається з тієї ж точки що і політопний процес то теплота в політропному процесі до робочого тіла підводиться, під адіабатою відводиться.
2. Над ізотермою – внутрішня енергія збільшується, під ізотермою – внутрішня енергія зменшується.
Малювати в наступному порядку: ізобарний , ізохорний , ізотермічний , адіабатний . Отже щоб зобразити процес треба знати його показник політропи. І відносно центральної точки – направо процес розширення (РТ виконує роботу), наліво – стиснення РТ (робота виконується над РТ). Приклад і процес стискування як виглядає. Наступний приклад і процес розширення.
Розділ 4. Другий закон термодинаміки
французький вчений Осборн Рейнольдс. І виявляється що в межах збуреного теплоносія що рухається турбулентно відбувається макропередача теплоти за рахунок руху теплоносія, а в межах ламінарного тоненького підшару теплопередача відбувається за рахунок мікрометода – теплопровідності. Співвідношення цих методів 98 до 2 %. Чим більша швидкість руху теплоносія тим товщина цього ламінарного підшару менша і відповідно частка теплопровідності менша. Вимушена конвекція є процесом більш інтенсивним.
Від чого залежить інтенсивність конвективного теплообміну? На нього впливають швидкість рухутеплоносія, його теплофізичні властивості – теплоємність (частіше ізобарна), коефіцієнт теплопровідності, в’язкість (динамічна чи кінематична ) чим більш в’язка речовина тим гірший конвективний теплообмін, коефіцієнт температуропровідності який характеризує швидкість зміни температури в тілі м2/с; коефіцієнт об’ємного розширення (для ідеальних газів).
Отже конвекція буває природна і вимушена (на неї впливає швидкість руху теплоносія, його фізичні властивості, форма поверхні).
2.2 Рівняння тепловіддачі Ньютона-Ріхмана.
Як обрахувати тепловий потік який передається шляхом конвективного теплообміну. Рівняння називають рівняння Ньютона-Ріхмана. або в залежності куди передається тепловий потік. Індекси і від англійських назв стіна і рідна. Температура це не температура самої твердої поверхні, а температура пристінного шару теплоносія. І одна і друга температури теплоносія, але одна в ядрі теплоносія а друга в точці контакту зі стінкою. Отже тепловий потік прямо пропорційний площі поверхні контакту та різниці температур стінки і теплоносія. В цьому рівнянні коефіцієнт пропорційності- коефіцієнт тепловіддачі. Одиниці розмірності . Коефіцієнт тепловід
4.1. Оборотні і необоротні термодинамічні процеси.
Поняття оборотності термодинамічних процесів є фундаментальним поняттям термодинаміки взагалі і для технічної термодинаміки зокрема. Візьмемо робочу діаграму, покажемо якийсь політропний процес 1-2. Раз цей процес зображаємо в робочій діаграмі то передбачається що він є рівноважний. Напрямок від точки 1 до точки 2 є прямий напрямок, а від точки 2 до 1 зворотній. Так от якщо ми цей процес спершу здійснимо в прямому напрямку, потім в зворотному і приведемо РТ в т.1 і при цьому ні в робочому тілі, ні в навколишньому середовищі ніяких змін не буде зафіксовано. Що це означає. Наприклад до РТ розширилося і виконало роботуі до нього підведено теплоту , а якщо іти в зворотньому напрямку то РТ треба стиснути і робота повинна. Якщо в прямому напрямку теплота була підведена то в зворотному напрямку треба відвести таку ж кількість теплоти .
Оборотним називається такий процес який протікаючи в прямому і зворотному напрямку не залишає змін ні в навколишньому середовищі ні робочому тілі.Коли виконуються умови і тоді процес 1-2 може називатися оборотним.
Щоб процес з точки зору термодинаміки був оборотним треба витримати 2 умови:
1 умова – процес повинен бути рівноважним і . Якщо не виконується ця умова тоді процес називається внутрішньо не оборотний.
2 умова – різниця температур робочого тіла і навколишнього
Розглянули теплопровідність, другий конвективний теплообмін, а третім розглянемо променевий теплообмін.
2.1 Природна і вимушена конвекція
Ще інакше називається тепловіддача.
Теплообмін між твердою поверхнею та теплоносієм який здатен текти, що здійснюється одночасно шляхом переміщення теплоносія в просторі та за рахунок теплопровідності називається конвективним теплообміном або тепловіддачею. Отже для конвективного теплообміну треба мати тверду поверхню і теплоносія який може текти (газ або рідна або суміші газів або рідин). Чому називається теплоносій, тому що десь далеко воду наприклад нагріли, перекачали по трубах в наш корпусі тут вона нагріває повітря. Отже вода переносить тепло – теплоносій. Механізм конвективного теплообміну – повітря нагрівається від батареї наприклад і завдяки цьому його густина зменшується, воно піднімається, на його місце надходить більш холодне повітря – виникає природна конвекція. Біля вікон все навпаки – повітря охолоджується, густина збільшується і тд. Фактично рушійною силою природної конвекції є сили тяжіння. На зорі космонавтики люди які попали в космос жалілися що в кораблі дуже жарко хоча насправді температура повітря становила 22 оС. В чім справа. Виявилося що тонкий шар повітря наприклад біля рук швидко прогрівався а дальше завдяки тому що повітря прекрасний ізолятор (має найменший коефіцієнт теплопровідності) тепло не передавалося. Створювалася так звана теплова подушка. Природна конвекція не виникала. Що ж робити? А треба перейти від природної конвекції до вимушеноїтобто створити рух теплоносія (повітря) (поставити вентилятор). У випадку конвекції питомий тепловий потік буде . Існують так звані макро і мікро методи передачі теплоти. Коли потік набігає на плоску пластину то відбувається стискання теплоносія, зміна напрямку його руху, утворюються завихрення, виникає турбулентність. Але на певній малій відстані від пластини утворюється підшар в якому рух теплоносій сповільнюється і стає ламінарним. Міняються режими руху теплоносія що виявив в 1873 році
середовища протягом всього процесу повинна залишатися нескінченно малою. Що це означає: в точці 1 температура РТ і навколишнє середовище повинно мати джерело теплоти оскільки умова що в процесі 1-2 теплота повинна підводитися. А якщо взяти якусь точку то в ній повинно бути джерело теплоти з температурою .І таких точок в процесі є безліч. І це означає що в НС повинно бути безліч джерел теплоти з різною температурою, а температура двох сусідніх джерел повинна відрізнятися на . Звичайно що створити таке джерело теплоти яке б складалося з безлічі елементарних джерел неможливо і до цього ніхто і не прагне.
Оборотність – абстрактне поняття це ідеальне поняття.Оборотних процесів в природі не буває однак слід прагнути зменшити необоротність реальних процесів. Необоротність заключається що теплообмін відбувається не при нескінченно малій різниці температур а при якісь кінцевій різниці. Тому завжди треба прагнути до зменшення необоротності. Всі процеси в тій чи іншій мірі необоротні, має місце дисипація енергії і вона використовується нераціонально.
4.2 Прямі і обернені термодинамічні цикли.
Обернений означає що процес здійснюється в напрямку зворотному ніж прямий процес. Повертаючись до попереднього малюнку можна сказати що 1-2 прямий напрямок процесу, а 2-1 обернений до нього процес.
Розглянемо невелику задачу – будемо оперувати оборотними процесами оскільки вони є в енергетичному відношенні більш вигідними ніж необоротні. Розглянемо систему гарячих джерел теплоти (нескінченна кількість джерел теплоти об’єднаних в одну сис
няння – рівняння ускладнилося в порівнянні з плоскою стінкою.
Багатошарова стінка
Так само як для плоскої стінки може бути як один так і декілька шарів так і циліндричну стінку можна розглядати як одношарову так багатошарову. Приклад: труба опалення – на трубу нанесено шар фарби який хоч і тонкий але впливає на тепловий потік. Зобразимо випадок трьохшарової циліндричної стінки. Чим більше змінюється температура в межах одного шару тим менший у нього коефіцієнт теплопровідності. Тепловий потік визначається за формулою яка виводиться за тими ж принципами що і для одношарової і остаточне рівняння має вигляд .
Отже в залежності від геометричної форми маємо різні формули для визначення теплового потоку - плоска стінка дала простішу формулу, циліндрична складнішу. А якщо взяти сферичну стінку то формула ще ускладниться. На цьому ми завершили перший розділ – теплопровідність.
Розділ 2 Конвективний теплообмін
Ми продовжуємо розглядати способи теплообміну від простого до складного. Розглядаємо спершу прості способи теплообміну.
тему) і систему так званих холодних джерел теплоти (середньоінтегральна температура цих джерел більша, а цих менша). Між ними будемо мати РТ. Візьмемо від СГДТ якусь кількість теплоти і перетворимо на корисну роботу. Те що ми робимо проілюструємо за допомогою p-V діаграми. Якщо до РТ підвести теплоту то воно розшириться – покажемо політропний оборотний процес 1-2 і виконана така робота зміни об’єму. Тепер хочу знову виконати туж роботу розширення але для цього треба повернути РТ до початкового положення таким шляхом щоб робота стиснення була меншою. Процес теж буде оборотний 2-1 і на стискування ми витрачаємо таку роботу стискування. І при чому. В процесі стискування РТ нагрівається і тому від РТ треба відвести теплоту для чого використовується система ХДТ – систему щоб процес був оборотний. І покажемо що теплоту відводимо від РТ. Чи повністю теплота підведена до РТ переведена в корисну роботу ні - корисна робота (робота циклу) яку ми використовуємо. Площа обмежена лініями 1-2 та 2-1 є корисною роботою циклу. А те що у нас утворилося в робочій діаграмі є круговий термодинамічний процес або цикл. Цикл складається з двох оборотних процесів тому цикл оборотний. Якщо хоча б один з процесів був необоротній то і цикл був би необоротній. В цьому циклі - теплота циклу.
Цикл в якій теплова енергія перетворюється в механічну роботу зміни об’єму називається прямим (прямі цикли здійснюються в діаграмах стану за годинниковою стрілкою). Схема зліва від діаграми – схема теплового двигуна.
Оцінити термодинамічну ефективність прямого циклу можна
цей шар то ми можемо нехтувати кривизною цієї поверхні. Якщо тепловий потік проходить через всю стінку то температура змінюється на . А для цього шару зміна температури складе . Таким чином нехтуючи кривизною можемо записати закон Фур’є для виділеного тонкого шару де площа поверхні буде . . Поділимо ліву і праву частини рівняння на довжину твірної і отримаємо рівняння - питомий лінійний тепловий потік. Так само маємо диференціальне рівняння в якому є дві змінні і розділимо їх. після інтегрування .
При тоді тоді константа інтегрування , а коли тоді . Тоді підсумкове рівняння буде . Тепер рівняння температурного поля буде або зміна температури по товщині циліндричної стінки. Відношення радіусів можна замінити відношенням діаметрів результат від цього абсолютно не зміниться. Цю величину що стоїть в знаменнику позначають - лінійний термічний опір теплопровідності. Загальний тепловий потік буде . Отже ми переконались що коли змінюється геометрична форма поверхні змінюється розрахункове рів
термічним коефіцієнтом корисної дії . Максимально ККД = 1 коли вся теплоти перетворена в корисну роботу.
Обернені цикли – цикли холодильних машин або теплових насосів. Спочатку РТ має температуру нижчу ніж СХДТ і теплота в кількості віддається до РТ. Що зображаємо в робочій діаграмі – процес розширення 1-2 коли теплота підводиться. Щоб повернути в т.1 рт здійснюється процес стискування в якому від РТ відводиться теплота а на стискування витрачається якась робота . В результаті теплота передається від РТ до СГДТ. Чому тепловий насос – ми перекачуємо примусово теплоту від системи менш теплої до системи з більшою температурою. Так працює холодильна машина. Для цього затрачається робота – працює компресор. Цей цикл є обернений по відношенню до прямого. Теж може бути оборотним і необоротним.
Обернені цикли здійснюється проти годинникової стрілки. В ньому механічна енергія перетворюється в теплову.
Характеризує термодинамічну ефективність – холодильний коефіцієнт. теплоти беруться за абсолютною величиною. Чим більший є тим більш досконала холодильна машина. Може бути 4,7 - 4,5. Якщо ККД обмежений 1 то тут верхньої межі не існує.
4.3 Цикл Карно. Теорема Карно.
В 1824 р. французький вчений Саді Карно запропонував цикл. В ній він запропонував цикл який може бути як прямий так і оберне
Практика показує що коли змінюється геометрична форма поверхні стінки, в якій здійсн
та через ентальпію 
. Помножимо обидві частини обох рівнянь на інтегруючий множник 
. Та
- ділянка гідродинамічної стабілізації потоку. Така картина спостерігається при умові ізотермічного потоку.
Ця ділянка стабілізації потоку складатиме:
При ламінарній течії 
При турбулентній 
.
Явище тепловіддачі в горизонтальній трубі досліджував в 20-30 р. 19 ст Нуссельт вперше він отримав критеріальне рівняння
коефіцієнти приймаються с = 0,021 , n = 0,8 , m = 0,43 . 
- температура теплоносія в ядрі потоку. Коефіцієнт 
залежить від відношення 
і визначається з таблиць або за рівнянням. При 
. Визначальним розміром є 
. Рівняння можна застосувати не тільки для круглих труб, а і для каналів різної форми. Тоді застосовується еквівалентний діаметр 
.
2.9 Тепловіддача при поперечному обтіканні труби та жмутків труб
, а 
. В результаті для першого рівняння ми провевши відповідні підстановки отримаємо 
(1). Згідно рівняння стану Клапейрона 
. Тоді 
. Аналогічно провівши перетворення другого рівняння через ентальпію отримаємо: 
.
Ми отримали вираз для повного диференціала функції – ентропії. Отже Ентропія –функція стану, диференціал якої рівний відношенню нескінченно малого приросту теплоти
в елементарному оборотному процесі до абсолютної температури
, постійної на нескінченно малій ділянці процесу
.Розмірність 
.
Якщо кількість теплоти віднести до 1 кг речовини 
то отримаємо питому ентропію 
яка виражається в 
.
Ну і питома ентропія як і інші функції стану є величина екстенсивна, тобто підлягає правила аддитивності. Алгебраїчна сума питомих ентропій окремих тіл, які входять в термодинамічну систему, рівна питомій ентропії термодинамічної системи в цілому.
Оскільки в технічній термодинаміці необхідно знати тільки зміну питомої ентропії в тому чи іншому процесі, деякому її певному стану (наприклад Т = 0 К) умовно приписують значення рівне 0.
А для чого потрібне поняття ентропії? А за характером зміни ентропії можна судити про характер теплообміну – коли ентропія збільшується, теплота підводиться, а коли ентропія зменшується то теплота відводиться.
можуть мати безліч різних значень. Так само і з іншими критеріями подібності.
Наприклад визначивши залежність для визначення критерію Нуссельта при нормальних умовах можна за отриманою залежністю визначити коефіцієнт тепловіддачі в апараті при робочих умовах газового потоку при його транспорті. При цьому обов’язково необхідно щоб виконувалися вище зазначені умови моделювання.
А тепер розглянемо які залежності можуть бути застосовані при різних випадках конвективного теплообміну.
2.7 Тепловіддача (конвекція) при природному русі теплоносія в необмеженому об’ємі.
Це рівняння справедливо для природної конвекції і для горизонтальних і для вертикальних поверхонь. 
. А якщо труба горизонтальна тоді 
.
Коефіцієнти 
і 
набувають різних значень:
- для горизонтальних труб при 
, 
.
- для вертикальних труб і плит при 
, 
, 
.
Маючи значення критерію Нуссельта можна визначити коефіцієнт тепловіддачі при інших умовах 
Якщо нагріта поверхня обернена вверх то вирахуваний коефіцієнт тепловіддачі треба збільшити на 30%, а якщо вниз тоді змен 
Зобразимо для прикладу якийсь довільний процес в діаграмі стану з координатами Т і S. В даній діаграмі площа фігури під лінією процесу рівна підведеній до РТ теплоті – оскільки ентропія зросла то теплота підведена. 
.
Та три калоричні параметри стану або функції стану 
, 
, 
.
3. Термодинамічні процеси ідеальних газів
3.1. Аналіз рівноважного ізохорного термодинамічного процесу.
Рівноважний термодинамічний процес, який протікає за умови незмінного об’єму процесу називається ізохорним.Отже для цього процесу
. Запишемо рівняння Клапейрона для початкового та кінцевого станів у процесі 
; 
. Поділивши одне рівняння на друге отримаємо рівняння зв’язку між параметрами в процесі 
(закон Шарля).
Зобразимо ізохорний процес в робочій та тепловій діаграмах стану.
Запишемо рівняння першого закону теплотехніки в класичній формі.
один з них.
Параметри які входять до рівнянь критеріїв 
, 
, 
повинні бути задані умовами однозначності. Наприклад задається визначальна температура – при якій температурі визначаються теплофізичні властивості теплоносія. Також задається визначальний розмір.
2.6 Умови подібності процесів конвективного теплообміну
Явища тепловіддачі ділять на дві великі групи – вільна і вимушена. І відповідно для опису кожного з варіантів тепловіддачі використовують свої числа подібності.
Природна Вимушена
Нестаціонарна 
Стаціонарна 
Проводиться експеримент завдяки якому отримують необхідні числа подібності. При цьому обов’язково вказують визначальні температуру і розміри. При перехідному стаціонарному теплообміні залежність може мати вигляд 
. Для більш повної характеристики процесу до рівнянь вводять безрозмірні симплекси подібності 
. А дальше завдяки моделюванню вивчені на моделі процеси та отримані залежності переносять на натурні взірці. При цьому необхідно дотримуватися певних умов подібності:
1. моделювати можна тільки якісно одинакові процеси, такі які мають однакову фізичну природу і описуються однаковими диференціальними рівняннями,
2. умови однозначності повинні бути одинакові у всьому крім числових значень сталих, наприклад необхідна геометрична подібність взірця і моделі,
3. однойменні критерії подібності для моделі і взірця повинні мати однакові числові значення.
Наприклад для моделі і для взірця повинно бути що 
. 
оскільки у нас 
, то робота процесу буде 
тоді 
Питома теплота ізохорного процесу 
або абсолютна теплота 
.
Зміна питомої внутрішньої енергії аналогічно 
або 
.
Зміна питомої ентальпії 
або зміна абсолютної ентальпії 
.
Зміна питомої ентропії 
і знову зміна 
3.2. Аналіз ізобарного термодинамічного процесу.
Рівноважний термодинамічний процес, який протікає за умови сталого абсолютного тиску називається ізобарним.Отже для цього процесу
. Запишемо рівняння Клапейрона для початкового та кінцевого станів у процесі 
; 
. Поділивши одне рівняння на друге отримаємо рівняння зв’язку між параметрами в процесі 
- закон Гей-Люссака.
Зобразимо ізобарний процес в робочій та тепловій діаграмах стану.
де 
; 
- де 
- ламінарний режим; а при 
- турбулентний режим.
- критерій Фур’є вводиться коли вивчається нестаціонарна тепловіддача. Визначається 
- 
- час.
- критерій Пеклє – характеризує співвідношення між тепловим потоком що передається макрорухом до мікрорухів (відношення між теплопровідністю та тепловіддачею). Визначається 
. Коли 
то переважає теплопровідність.
- критерій Прандтля (Людвіг Прандтля) – характеризує вплив теплофізичних властивостей на теплообмін або визначає фізичні властивості теплоносія. Визначається 
;
- критерій Нуссельта – характеризує інтенсивність конвективного теплообміну на границі теплоносія. Визначається 
.
В ізобарному процесі ентропія змінюється сильніше за рахунок більшої теплоємності 
.
Запишемо рівняння першого закону термодинаміки через ентальпію 
, то 
- вся теплота, яка підводиться і відводиться іде на зміну ентальпії.
Теплота ізобарного процесу 
Робота ізобарного процесу 
тоді 
а при умові коли 
тоді 
. Можна записати що фізичний зміст 
- це робота зміни об’єму 1 кг газу в ізобарному процесі при 
Зміна ентропії 
і знову 
3.3. Аналіз ізотермічного термодинамічного процесу.
Рівноважний термодинамічний процес, який протікає при незмінній абсолютній температурі називається ізотермічним. Отже для цього процесу 
. Запишемо рівняння Клапейрона для початкового та кінцевого станів у процесі 
; 
Тепловий потік можна знайти з першого закону термодинаміки. Ми отримуємо коефіцієнт тепловіддачі для певних дослідних умов. А нам треба розповсюдити результати одиничного досліду на цілу групу явищ. Що дозволяє зробити теорія подібності. Вперше поняття подібності введено в геометрії де конкретні геометричні розміри тіл замінялися безрозмірними величинами що давало можливість одним рівнянням описати цілу групу подібних геометричних тіл. Поняття подібності розповсюджується на любе фізичне явище. Фізичні явища рахуються подібними, якщо вони відносяться до одного і того ж класу, протікають в геометрично подібних системах і подібні всі однорідні фізичні величини, які описують ці явища. Однорідниминазиваються такі величини, які мають один і той же фізичний зміст і однакову розмірність.
Теорія подібності зосереджена в 3 теоремах подібності: перша і друга формулюють основні властивості подібних між собою явищ, а третя встановлює признаки, за якими можна визначити чи подібні явища які розглядуються.
Перша: подібні явища мають однакові критерії подібності.
Критерії подібності – безрозмірні комплекси, які однакові для всього класу подібних явищ. Вони виводяться з диференціальних або інтегральних рівнянь, що описують дане явище. Які існують критерії подібності зупинимося пізніше.
Друга теорема:будь-яка залежність між величинами, які характеризують подібні явища може бути замінена залежністю між критеріями подібності. Остання залежність – критеріальне рівняння. 
. Теорема показує як треба обробляти отримані дослідні дані (яку форму критеріального рівняння вибрати).
Треті теорема: Подібні ті явища, умови однозначності яких подібні, а критерії подібності які складені з умов однозначності чисельно рівні. Або подібні ті явища у яких однойменні критерії по 
. Прирівнявши одне рівняння до другого отримаємо рівняння зв’язку між параметрами в процесі: 
або 
- закон Бойля-Маріотта.
Зобразимо ізобарний процес в робочій та тепловій діаграмах стану У всіх діаграмах стану якщо процес іде зліва на право то теплота або робота підводиться і навпаки.
Запишемо перший закон термодинаміки 
, то і 
тоді
. З рівняння слідує що вся теплота іде на виконання роботи, що є дуже важливим в теплових машинах.
Теплота та робота ізотермічного процесу визначається: 
або 
Зміна внутрішньої енергії ізотермічного процесу 
.
Зміна ентальпії ізотермічного процесу 
.
Теплоємність буде 
Зміна ентропії ізотермічного процесу 
або 
.
3.4. Аналіз адіабатного процесу.
Рівноважний термодинамічний процес який протікає за умови відсутності теплообміну між робочим тілом та довкіллям називають адіабатним.
і знаходити величину теплового потоку. Такий теоретичний шлях визначення теплового потоку.
Для отримання рівняння теплового поля систему рівнянь треба інтегрувати а для цього треба добавити умови однозначності які призвані виділити з подібних об’єктів якийсь один об’єкт.
Умови однозначності є такі:
1. Геометричні – однозначно треба сказати що ми беремо в якості об’єкта це віконне скло шириною, висотою, поверхня гладка. Коло поверхні такий об’єм повітря.
2. Фізичні – в якості теплоносія використовується повітря. В’язкість така, густина така і тд.
3. Крайові або приграничні – вимірюємо температури повітря біля поверхні, на такій відстані така, а на такій – така.
4. Часові – якщо поле стаціонарне то відповідний доданок зникає, а якщо нестаціонарне тоді треба показати як температура теплоносія змінюється з часом.
Математичний опис процесів конвективного теплообмінускладається з повної системи диференціальних рівнянь (можна замість рівнянь Нав’є-Стокса прийняти і інші рівняння руху), додаються умови однозначності, додається диференціальне рівняння тепловіддачі.
Виявляється що на даний час цю систему диференціальних рівнянь ще ніхто не проінтегрував. Тому що існуючі математичні методи ще не дійшли до цього. А як же бути (як визначити коефіцієнт тепловіддачі) – доводиться цю задачу розв’язувати експериментальним шляхом.
2.4 Основи теорії подібності
Нагадаю що математичний опис процесів конвективного теплообмінускладається з повної системи диференціальних рівнянь (можна замість рівнянь Нав’є-Стокса прийняти і інші рівняння руху), додаються умови однозначності, додається диференціальне рі 
Ідеальний адіабатний процес – коли відсутній зовнішній та внутрішній теплообмін.
- необхідна умова, але не достатня.
А от 
- достатня умова адіабатного процесу.
Виведемо рівняння адіабатного процесу.
Запишемо рівняння першого закону термодинаміки:
де 
Поділимо одне рівняння на інше:
. Перетворимо рівняння 
- показник адіабати.
. Про інтегруємо 
. Отримаємо 
- логарифмічна форма рівняння адіабатного процесу. А провівши потенціювання отримаємо 
рівняння Пуассона або рівняння адіабатного процесу. 
.
Зобразимо адіабатний процес в робочій та тепловій діаграмах стану.
. А якщо одномірний потік тоді наприклад 
. Або в інтегральному вигляді 
. І тепер система рівнянь замкнута і можна інтегруючи її отримати рівняння температурного поля. Але нам треба обрахувати тепловий потік. А в рівняння Ньютона-Ріхмана входить коефіцієнт тепловіддачі 
. То потрібно ще якесь рівняння щоб ми могли знайти тепловий потік. Це диференціальне рівняння тепловіддачі.
Візьмемо якусь елементарну ділянку поверхні. Температури стінки і теплоносія. Елементарний тепловий потік. Виділяємо пристінний шар в межах якого змінюється швидкість теплоносія. Температура значно змінюється в пристінному шарі і незначно в самому теплоносії. Це характерний графік зміни температури при конвективно му теплообміні. Через цей тонкий пристінний шар з ламінарним рухом теплоносія тепловий потік передається теплопровідністю рівняння Фур’є 
. Коли тепловий потік пройшов цей шар то він передається макрометодом. Рівняння Ньютона-Ріхмана 
. Це один і той самий тепловий потік. Якщо прирівняти праві частини отримаємо 
- це і є диференціальне рівняння тепловіддачі.
Таким чином використовуючи систему рівнянь до якої входять наприклад рівняння теплопровідності Фур’є-Кірхгофа, рівняння 
.
Рівняння зв’язку між змінними параметрами стану: 
- 
; 
- 
; 
- 
.
Запишемо перший закон термодинаміки: 
.
Робота адіабатного процесу: 
або 
.
Зміна внутрішньої енергії ізобарного процесу 
тому 
.
3.5. Аналіз політропного процесу.
Рівноважний термодинамічний процес, який протікає за умови незмінної теплоємності робочого тіла протягом всього процесу називається політропним.
- питома масова політропна теплоємність.
виходячи з поняття теплоємності в політропному процесі 
.
Тоді 
- розподіл теплоти яка іде на виконання роботи і на зміну внутрішньої енергії є величиною незмінною протягом всього процесу.
Політропна теплоємність може бути 
- в сімействі політропних процесів.
. Це фактично рівняння температурного поля. В цьому рівнянні 
- проекції руху теплоносія на координатні осі. 
(
- набла означає другу похідну по координатах).
Якщо тіло тверде то для нього відсутня швидкість і рівняння набуває вигляду 
.
Якщо поле стаціонарне тоді ще простіше 
- для твердого тіла стаціонарне трьохмірне температурне поле. А якщо одновимірне тоді 
.
Отже диференціальне рівняння Фур’є-Кірхгофа описує зміну температури в просторі і часі. Але в цьому рівнянні маємо 7 змінних величин. Його розв’язати неможливо. Тому необхідно додати інші рівняння наприклад рівняння руху теплоносія.
Можна взяти що теплоносій – рідина, крапельна нестислива. (Якщо взяти стисливе середовище то рівняння руху буде значно складніше). І для нього рівняння руху Нав’є-Стокса.
Аналогічно запишеться для осі 
і для осі 
. Для кожного рівняння змінною величиною виступає проекція швидкості на відповідну вісь. Отже отримали ще три рівняння. Ніби система стала замкнутою але в рівняннях руху з’явилася нова величина 
і знову система не замкнена. І ця система замикається рівняння нерозривності або суцільності руху теплоносія.
. Якщо потік стаціонар 
. Може приймати значення 
.
Тоді політропна теплоємність 
.
Теплота політропного процесу 
. Робота політропного процесу 
.
Зміна ентропії політропного процесу 
.
Зміна внутрішньої енергії ізобарного процесу 
.
Зміна ентальпії ізобарного процесу 
Залежність політропної теплоємності 
,
- геометричних розмірів та форми твердої поверхні;
- від напрямку передавання теплоти.
2.3 Диференціальні рівняння теплообміну.
Для отримання диференціального рівняння якого небудь явища (конвективний теплообмін). В межах цього явища виділяють нескінченно малий об’єм (наприклад пристінний шар повітря біля труби, біля скла, біля стіни). Нескінченно малий проміжок часу. Керуючись основними законами фізики складають рівняння яке описує явище в цьому нескінченно малому об’ємі. За допомогою диференціальних рівнянь не вирішують якісь кінцеві задачі – диференціальне рівняння спершу інтегрують, а потім додати до нього умови однозначності.
Є диференціальні рівняння які описують конвективний теплообмін. Основне з них диференціальне рівняння теплопровідності Фур’є-Кірхгофа. Його виводять на основі першого закону термодинаміки. 
. Дане рівняння зв’язує температуру з координатами простору 
та 
- ізобарний процес;
- адіабатний процес.
- ізохорний процес.
Енергетичний аналіз (баланс енергії)
1. Якщо політропа розташована вище адіабати, яка розпочинається з тієї ж точки що і політопний процес то теплота в політропному процесі до робочого тіла підводиться, під адіабатою відводиться.
2. Над ізотермою – внутрішня енергія збільшується, під ізотермою – внутрішня енергія зменшується.
Малювати в наступному порядку: ізобарний 
, ізохорний 
, адіабатний 
. Отже щоб зобразити процес треба знати його показник політропи. І відносно центральної точки – направо процес розширення (РТ виконує роботу), наліво – стиснення РТ (робота виконується над РТ). Приклад 
і процес стискування як виглядає. Наступний приклад 
і процес розширення.
Розділ 4. Другий закон термодинаміки
) чим більш в’язка речовина тим гірший конвективний теплообмін, коефіцієнт температуропровідності який характеризує швидкість зміни температури в тілі 
м2/с; коефіцієнт об’ємного розширення 
(для ідеальних газів).
Отже конвекція буває природна і вимушена (на неї впливає швидкість руху теплоносія, його фізичні властивості, форма поверхні).
2.2 Рівняння тепловіддачі Ньютона-Ріхмана.
Як обрахувати тепловий потік який передається шляхом конвективного теплообміну. Рівняння називають рівняння Ньютона-Ріхмана. 
в залежності куди передається тепловий потік. Індекси 
це не температура самої твердої поверхні, а температура пристінного шару теплоносія. І одна і друга температури теплоносія, але одна в ядрі теплоносія а друга в точці контакту зі стінкою. Отже тепловий потік прямо пропорційний площі поверхні контакту та різниці температур стінки і теплоносія. В цьому рівнянні коефіцієнт пропорційності
Поняття оборотності термодинамічних процесів є фундаментальним поняттям термодинаміки взагалі і для технічної термодинаміки зокрема. Візьмемо робочу діаграму, покажемо якийсь політропний процес 1-2. Раз цей процес зображаємо в робочій діаграмі то передбачається що він є рівноважний. Напрямок від точки 1 до точки 2 є прямий напрямок, а від точки 2 до 1 зворотній. Так от якщо ми цей процес спершу здійснимо в прямому напрямку, потім в зворотному і приведемо РТ в т.1 і при цьому ні в робочому тілі, ні в навколишньому середовищі ніяких змін не буде зафіксовано. Що це означає. Наприклад до РТ розширилося і виконало роботу
і до нього підведено теплоту 
, а якщо іти в зворотньому напрямку то РТ треба стиснути і робота повинна
. Якщо в прямому напрямку теплота була підведена то в зворотному напрямку треба відвести таку ж кількість теплоти 
.
Оборотним називається такий процес який протікаючи в прямому і зворотному напрямку не залишає змін ні в навколишньому середовищі ні робочому тілі.
Коли виконуються умови 
і 
. Якщо не виконується ця умова тоді процес називається внутрішньо не оборотний.
2 умова – різниця температур робочого тіла і навколишнього 
. Існують так звані макро і мікро методи передачі теплоти. Коли потік набігає на плоску пластину то відбувається стискання теплоносія, зміна напрямку його руху, утворюються завихрення, виникає турбулентність. Але на певній малій відстані від пластини утворюється підшар в якому рух теплоносій сповільнюється і стає ламінарним. Міняються режими руху теплоносія що виявив в 1873 році 
і навколишнє середовище повинно мати джерело теплоти 
оскільки умова що в процесі 1-2 теплота повинна підводитися. А якщо взяти якусь точку 
.І таких точок в процесі є безліч. І це означає що в НС повинно бути безліч джерел теплоти з різною температурою, а температура двох сусідніх джерел повинна відрізнятися на 
. Звичайно що створити таке джерело теплоти яке б складалося з безлічі елементарних джерел неможливо і до цього ніхто і не прагне.
Оборотність – абстрактне поняття це ідеальне поняття.Оборотних процесів в природі не буває однак слід прагнути зменшити необоротність реальних процесів. Необоротність заключається що теплообмін відбувається не при нескінченно малій різниці температур а при якісь кінцевій різниці. Тому завжди треба прагнути до зменшення необоротності. Всі процеси в тій чи іншій мірі необоротні, має місце дисипація енергії і вона використовується нераціонально.
4.2 Прямі і обернені термодинамічні цикли.
Обернений означає що процес здійснюється в напрямку зворотному ніж прямий процес. Повертаючись до попереднього малюнку можна сказати що 1-2 прямий напрямок процесу, а 2-1 обернений до нього процес.
Розглянемо невелику задачу – будемо оперувати оборотними процесами оскільки вони є в енергетичному відношенні більш вигідними ніж необоротні. Розглянемо систему гарячих джерел теплоти (нескінченна кількість джерел теплоти об’єднаних в одну сис 
Багатошарова стінка
Так само як для плоскої стінки може бути як один так і декілька шарів так і циліндричну стінку можна розглядати як одношарову так багатошарову. Приклад: труба опалення – на трубу нанесено шар фарби який хоч і тонкий але впливає на тепловий потік. Зобразимо випадок трьохшарової циліндричної стінки. Чим більше змінюється температура в межах одного шару тим менший у нього коефіцієнт теплопровідності. Тепловий потік визначається за формулою яка виводиться за тими ж принципами що і для одношарової і остаточне рівняння має вигляд 
.
Отже в залежності від геометричної форми маємо різні формули для визначення теплового потоку 
- плоска стінка дала простішу формулу, циліндрична складнішу. А якщо взяти сферичну стінку то формула ще ускладниться. На цьому ми завершили перший розділ – теплопровідність.
Розділ 2 Конвективний теплообмін
Ми продовжуємо розглядати способи теплообміну від простого до складного. Розглядаємо спершу прості способи теплообміну. 
. В процесі стискування РТ нагрівається і тому від РТ треба відвести теплоту для чого використовується система ХДТ – систему щоб процес був оборотний. І покажемо що теплоту 
відводимо від РТ. Чи повністю теплота підведена до РТ переведена в корисну роботу ні 
- корисна робота (робота циклу) яку ми використовуємо. Площа обмежена лініями 1-2 та 2-1 є корисною роботою циклу. А те що у нас утворилося в робочій діаграмі є круговий термодинамічний процес або цикл. Цикл складається з двох оборотних процесів тому цикл оборотний. Якщо хоча б один з процесів був необоротній то і цикл був би необоротній. В цьому циклі 
- теплота циклу.
Цикл в якій теплова енергія перетворюється в механічну роботу зміни об’єму називається прямим (прямі цикли здійснюються в діаграмах стану за годинниковою стрілкою). Схема зліва від діаграми – схема теплового двигуна.
Оцінити термодинамічну ефективність прямого циклу можна 
. А для цього шару зміна температури складе 
. Таким чином нехтуючи кривизною можемо записати закон Фур’є для виділеного тонкого шару 
де площа поверхні буде 
. 
. Поділимо ліву і праву частини рівняння на довжину твірної 
- питомий лінійний тепловий потік. Так само маємо диференціальне рівняння в якому є дві змінні і розділимо їх. 
після інтегрування 
.
При 
тоді 
тоді константа інтегрування 
, а коли 
тоді 
. Тоді підсумкове рівняння буде 
. Тепер рівняння температурного поля буде 
або зміна температури по товщині циліндричної стінки. Відношення радіусів можна замінити відношенням діаметрів 
результат від цього абсолютно не зміниться. Цю величину що стоїть в знаменнику позначають 
- лінійний термічний опір теплопровідності. Загальний тепловий потік буде 
. Отже ми переконались що коли змінюється геометрична форма поверхні змінюється розрахункове рів 
. Максимально ККД = 1 коли вся теплоти перетворена в корисну роботу.
Обернені цикли – цикли холодильних машин або теплових насосів. Спочатку РТ має температуру нижчу ніж СХДТ і теплота в кількості 
а на стискування витрачається якась робота 
. В результаті теплота передається від РТ до СГДТ. Чому тепловий насос – ми перекачуємо примусово теплоту від системи менш теплої до системи з більшою температурою. Так працює холодильна машина. Для цього затрачається робота – працює компресор. Цей цикл є обернений по відношенню до прямого. Теж може бути оборотним і необоротним.
Обернені цикли здійснюється проти годинникової стрілки. В ньому механічна енергія перетворюється в теплову.
Характеризує термодинамічну ефективність – холодильний коефіцієнт. 
теплоти беруться за абсолютною величиною. Чим більший є 
тим більш досконала холодильна машина. Може бути 4,7 - 4,5. Якщо ККД обмежений 1 то тут верхньої межі не існує.
4.3 Цикл Карно. Теорема Карно.
В 1824 р. французький вчений Саді Карно запропонував цикл. В ній він запропонував цикл який може бути як прямий так і оберне 
Практика показує що коли змінюється геометрична форма поверхні стінки, в якій здійсн