Теорема.

Если на множестве А задано отношение эквивалентности ~ , оно определяет разбиение множества А на непустые непересекающиеся классы эквивалентности.

Обратная теорема.

Положим P = {} – разбиение множества А: È= A, Ç= Æ, i ≠ j. Тогда на множестве А строится отношение эквивалентности по правилу ("x, yÎA): x ~ y Û x Îи yÎ

Доказательство.

1. x ~ x (xÎ); Если x ~ y, то y ~ x (x, yÎ);

3. Если x ~ y, y ~ z, то x~ z (x, y, zÎ). Теорема доказана.

Определение. Семейство классов эквивалентности, построенных по данному отношению эквивалентности ~, называется фактормножеством множества А по отношению ~.

Пример.

Пусть и бинарное отношение задается правилом Доказать, что - отношение эквивалентности и описать классы эквивалентности.