Интервальные оценки

Метод наибольшего правдоподобия

Метод наибольшего правдоподобия точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения сводится к отысканию максимума функции одного или нескольких оцениваемых параметров.

Дискретные случайные величины.

Пусть X—дискретная случайная величина, которая в результате n опытов приняла возможные значения . Допустим, что вид закона распределения величины X задан, но неизвестен параметр , которым определяется этоу закон; требуется найти его точечную оценку .

Обозначим вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение через .

Функцией правдоподобия дискретной случайной величины X называют функцию аргумента :

Оценкой наибольшего правдоподобия параметра называют такое его значение , при котором функции правдоподобия достигает максимума.

Функции и достигают максимума при одном и том жезначении , поэтому вместо отыскания максимума функции ищут, что удобнее, максимум функции .

Логарифмической функцией правдоподобия называют функцию .

Точку максимума функции аргумента можно искать, например, так:

1. Найти производную .

2. Приравнять производную нулю и найти критическую точку – корень полученного уравнения (его называют уравнением правдоподобия).

3. Найти вторую производную , ; если вторая производная при отрицательна, то – точка максимума.

Найденную точку максимума принимают в качестве оценки наибольшего правдоподобия параметра .

Непрерывные случайные величины.

Пусть X – непрерывная случайная величина, которая в результате n испытаний приняла значения . Допустим, что вид плотности распределения – функции – задан, но неизвестен параметр , которым определяется эта функция.

Функцией правдоподобия непрерывной случайной величины X называют функцию аргумента :

Оценку наибольшего правдоподобия неизвестного параметра распределения непрерывной случайной величины ищут так же, как в случае дискретной случайной величины.

Если плотность распределения непрерывной случайной величины определяется двумя неизвестными параметрами и , то функция правдоподобия есть функция двух независимых аргументов и :

Далее находят логарифмическую функцию правдоподобия и для отыскания ее максимума составляют и решают систему

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью покрывает заданный параметр.

Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожидания нормально распределенного количественного признака X по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал

где – точность оценки, – бъем выборки, – значение аргумента функции Лапласа (см. приложение 2), при котором ; при неизвестном (и объеме выборки n < 30)

где s—«исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, находят по таблице приложения 4 по заданным . и .

Интервальной оценкой (с надежностью ) среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака X по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению s служит доверительный интервал

t wx:val="Cambria Math"/><w:noProof/><w:sz w:val="24"/><w:sz-cs w:val="24"/></w:rPr><m:t>,</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

где находят по таблице приложения 5 по заданным и .

Интервальной оценкой (с надежностью ) неизвестной вероятности р биномиального распределения по относительной частоте служит доверительный интервал (с приближенными концами и )

где

где – общее число испытаний; – число появлений события; – относительная частота, равная отношению ; – значение аргумента функции Лапласа (см. приложение 2), при котором ( – заданная надежность).

Замечание. При больших значениях (порядка сотен) можно принять в качестве приближенных границ доверительного

интервала

Пример. В результате 10 независимых измерений некоторой случайной величины Х, выполненных с одинаковой точностью, получены опытные данные, приведенные в таблице.

Предполагая, что результаты измерений подчинены нормальному закону распределения вероятностей, оценить истинное значение Х при помощи доверительного интервала, покрывающего истинное значение величины Х с доверительной вероятностью 0,95.

Решение: Поскольку в задаче имеется выборка малого объема, применим распределение Стьюдента. Требуется построить доверительный интервал для оценки математического ожидания а при неизвестном значении среднеквадратического отклонения из нормально распределенной генеральной совокупности.

Требуется отыскать такое число , для которого верно равенство

В этой формуле:

– выборочное среднее

S – стандартное (среднеквадратическое) отклонение

a - математическое ожидание

n - объем выборки (n =10)

- доверительная вероятность ( =0,95)

Величину (в нашем случае ) находим по таблицам распределения Стьюдента. Она равна 2,26.

Находим выборочное среднее как среднее арифметическое

Рассчитаем среднеквадратическое отклонение через исправленную выборочную дисперсию: .

Тогда . Получаем:

Ответ: истинное значение случайной величины лежит в доверительном интервале (1,833; 2,087) с доверительной вероятностью 0,95.