Метод моментов

Точечные оценки

Статистические оценки параметров распределения

Статистической оценкой неизвестного параметра в теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин .

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом , где – результаты n наблюдений над количественным признаком X (выборка).

Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя

где – варианта выборки, – частота варианты , – объем выборки.

Замечание 1. Если первоначальные варианты – большие числа, то для упрощения расчета целесообразно вычесть из каждой варианты одно и то же число С, т. е. перейти к условным вариантам (в качестве С выгодно принять число, близкое к выборочной средней; поскольку выборочная средняя неизвестна, число С выбирают «на глаз»). Тогда

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия

Более удобна формула

Замечание 2. Если первоначальные варианты – большие числа, то целесообразно вычесть из всех вариант одно и то же число С, равное выборочной средней или близкое к ней, т. е. перейти к условным вариантам (дисперсия при этом не изменится). Тогда

Замечание 3. Если первоначальные варианты являются десятичными дробями с k десятичными знаками после запятой, то, чтобы избежать действий с дробями, умножают первоначальные варианты на постоянное число т.е. переходят к условным вариантам . При этом дисперсия увеличится в раз. Поэтому, найдя дисперсию условных вариант, надо разделить ее на :

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия

Более удобна формула

В условных вариантах она имеет вид

причем если , то ; если , то > .

Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Если распределение определяется одним параметром, то для его отыскания приравнивают одни теоретический момент одному эмпирическому моменту того же порядка. Например, можно приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка: . Учитывая, что и , получим

Математическое ожидание является функцией от неизвестного параметра заданного распределения, поэтому, решив уравнение относительно неизвестного параметра, тем самым получим его точечную оценку.

Если распределение определяется двумя параметрами, то приравнивают два теоретических момента двум соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Например, можно приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка и центральный теоретический момент второго порядка центральному эмпирическому моменту второго порядка:

Учитывая, что , , , , имеем

Левые части этих равенств являются функциями от неизвестных параметров, поэтому, решив систему относительно неизвестных параметров, тем самым получим их точечные оценки.

Разумеется, для вычисления выборочной средней и выборочной дисперсии надо располагать выборкой .