Системы случайных величин
Решение.
Решение.
Эксперимент заключается в проверке детали. Проверяется 900 деталей ( ).
а) Пусть событие – деталь стандартная, , . Требуется с вероятностью 0,9545 определить границы доли числа «успешных» исходов (т.е. границы относительной частоты стандартных деталей). Применим формулу следствия 3, откуда выразим . По условию задачи , откуда по таблице значений функции Лапласа определяем . С другой стороны, . Из последних соотношений . Из неравенства следует с вероятностью 0,9545. Таким образом, с вероятностью 0,9545 следует ожидать что доля стандартных деталей среди 900 проверенных будет колебаться от 88% до 92%.
б) Пусть событие – деталь нестандартна, , . Необходимо вычислить вероятность , где – доля нестандартных деталей из 900. По формуле следствия 2:
,
,
.
Пример: Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их, равна 0,7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с вероятностью 0,996, что доля проданных среди них отклонится от 0,7 не более, чем на 0,04 по абсолютной величине?
Опыт состоит в продаже ценной бумаги. Продается ценных бумаг ( ). Обозначим событие – ценная бумага продана, , . Требуется определить из условия .Воспользуемся формулой следствия 3. Исходя из условия задачи , откуда по таблице значений функции Лапласа определяем . С другой стороны, . Из равенства , получаем, что .
Задача 11.
Решение этой задачи связано с разделом «Математическая статистика». Определение основных понятий и фактов представим ниже.
Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.
Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция двух аргументов F(x, y), равная вероятности совместного выполнения двух неравенств X<x, Y<y.
Свойства функции распределения системы случайных величин:
1. Если один из аргументов стремится к плюс бесконечности, то функция распределения системы стремится к функции распределения одной случайной величины, соответствующей другому аргументу.
2. Если оба аргумента стремятся к бесконечности, то функция распределения системы стремится к единице.
3. При стремлении одного или обоих аргументов к минус бесконечности функция распределения стремится к нулю.
4. Функция распределения является неубывающей функцией по каждому аргументу.
5. Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле:
Плотностью совместного распределениявероятностей двумерной случайной величины (X, Y) называется вторая смешанная частная производная от функции распределения.
Если известна плотность распределения, то функция распределения может быть легко найдена по формуле:
Двумерная плотность распределения неотрицательна и двойной интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности равен единице.
По известной плотности совместного распределения можно найти плотности распределения каждой из составляющих двумерной случайной величины.
; ;
Если случайные величины зависимы между собой, то закон распределения не может быть выражен через законы распределения составляющих, т.к. должен устанавливать связь между составляющими.
Пример: Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины задан таблицей:
Y X | |||
0,12 | 0,15 | 0,10 | |
0,08 | 0,10 | 0,12 | |
0,05 | 0,10 | 0,18 |
Найти: законы распределения вероятностей компонент X и Y; математические ожидания M(X), M(Y); дисперсии D(X), D(Y) и средние квадратические отклонения , компонент.
Решение. Сложив вероятности по столбцам, получим вероятности возможных значений X: ; ; . Запишем закон распределения компоненты X:
X | |||
p(x) | 0,25 | 0,35 | 0,40 |
Найдем числовые характеристики случайной величины X: , , .
Сложив вероятности по строкам, получим вероятности возможных значений Y: ; ; .
Запишем закон распределения компоненты Y:
Y | |||
p(y) | 0,37 | 0,30 | 0,33 |
Находим числовые характеристики случайной величины Y: , , .
Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение, называется условным законом распределения.
Условная плотность распределения вычисляется по формулам:
Условная плотность распределения обладает всеми свойствами плотности распределения одной случайной величины.
Условным математическим ожиданиемдискретной случайной величины Y при X = x (х – определенное возможное значение Х) называется произведение всех возможных значений Y на их условные вероятности.
Для непрерывных случайных величин:
,
где f(y/x) – условная плотность случайной величины Y при X=x.
Условное математическое ожидание M(Y/x)=f(x) является функцией от х и называется функцией регрессии Х на Y.
Пример. Найти условный закон распределения и условное математическое ожидание составляющей Y при X= x1=1 для дискретной двумерной случайной величины, заданной таблицей:
Y | X | |||
x1=1 | x2=3 | x3=4 | x4=8 | |
y1=3 | 0,15 | 0,06 | 0,25 | 0,04 |
y2=6 | 0,30 | 0,10 | 0,03 | 0,07 |
Решение
Таким образом, условный закон распределения составляющей Y при X=1 принимает вид:
Y | ||
p | 1/3 | 2/3 |
Условное математическое ожидание при этом,
Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функций распределения составляющих.
Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (X, Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих.
Корреляционным моментом mxy(или ковариацией) случайных величин Х и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин.
Практически используются формулы:
Для дискретных случайных величин:
Для непрерывных случайных величин:
Удобно пользоваться следующей формулой
Корреляционный момент служит для того, чтобы охарактеризовать связь между случайными величинами. Если случайные величины независимы, то их корреляционный момент равен нулю.
Коэффициентом корреляции rxy случайных величин Х и Y называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин.
Коэффициент корреляции обладает рядом свойств:
1. Коэффициент корреляции является безразмерной величиной.
2. Коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю.
3. Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин Х и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий.
4. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы.
Случайные величины называются коррелированными, если их корреляционный момент отличен от нуля, и некоррелированными, если их корреляционный момент равен нулю.
Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y), где X и Y – зависимые случайные величины. Представим приближенно одну случайную величину как функцию другой. Точное соответствие невозможно. Будем считать, что эта функция линейная.
Функция g(X) называется наилучшим приближением случайной величины Y в смысле метода наименьших квадратов, если математическое ожидание принимает наименьшее возможное значение. Также функция g(X) называется среднеквадратической регрессией Y на X.
Теорема. Линейная средняя квадратическая регрессия Y на Х вычисляется по формуле:
,
mx=M(X), my=M(Y), коэффициент корреляции величин Х и Y.
Величина называется коэффициентом регрессииY на Х.
Прямая, уравнение которой , называется прямой среднеквадратической регрессииY на Х.
Величина называется остаточной дисперсиейслучайной величины Y относительно случайной величины Х. Эта величина характеризует величину ошибки, образующейся при замене случайной величины Y линейной функцией g(X)=aХ + b.
Видно, что если r=±1, то остаточная дисперсия равна нулю, и, следовательно, ошибка равна нулю и случайная величина Y точно представляется линейной функцией от случайной величины Х.
Прямая среднеквадратичной регрессии Х на Y определяется аналогично по формуле:
Прямые среднеквадратичной регрессии пересекаются в точке (тх, ту), которую называют центром совместного распределенияслучайных величин Х и Y.
Если две случайные величины Х и Y имеют в отношении друг друга линейные функции регрессии, то говорят, что величины Х и Y связаны линейной корреляционной зависимостью.
Теорема. Если двумерная случайная величина (X, Y) распределена нормально, то Х и Y связаны линейной корреляционной зависимостью.
Пример: Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины задан таблицей:
Y X | |||
0,12 | 0,15 | 0,10 | |
0,08 | 0,10 | 0,12 | |
0,05 | 0,10 | 0,18 |
Найти: ковариацию; коэффициент корреляции; прямую среднеквадратической регрессии Y на X.
Решение. При решении предыдущей задачи были получены законы распределения компонент двумерной случайной величины и их числовые характеристики:
X | |||
p(x) | 0,25 | 0,35 | 0,40 |
, , .
Y | |||
p(y) | 0,37 | 0,30 | 0,33 |
, , .
Ковариацию найдем по формуле , где можно вычислить по формуле
где двойная сумма означает суммирование по всем клеткам исходной таблицы:
.
Тогда ковариация .
Найдем коэффициент корреляции .
Используя формулу , найдем прямую среднеквадратической регрессии Y на X : или .