Решение.

Решение.

Решение.

Опыт заключается в проверке гриба: является ли он белым. Это испытание повторяется 80 раз по общему количеству грибов ( ). Пусть – отобранный гриб является белым. Вероятность этого события равна , . Требуется определить вероятность 20 «успехов» ( ) из 80 случаев ( ), т.е. . Вероятность события достаточно большая, к тому же , поэтому приближенная формула Пуассона дает плохой с точки зрения точности результат. Зато , поэтому можно воспользоваться локальной формулой Муавра – Лапласа:. По таблицам находим .

Пример: По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1000 зарегистрированных в регионе малых предприятий имеют нарушения финансовой дисциплины: а) 480 предприятий; б) наивероятнейшее число предприятий; в) не менее 465; г) от 460 до 540.

Эксперимент состоит в проверке финансовой дисциплины предприятия. Это испытание повторяется 1000 раз ( ). Пусть – предприятие имеет нарушения финансовой дисциплины. Вероятность события равна (каждое второе предприятие имеет нарушение), поэтому .

а) Требуется определить . Воспользуемся локальной формулой Муавра – Лапласа: . Для находим . Из Приложения 1, учитывая четность функции , находим . Тогда .

б) Необходимо сначала определить наивероятнейшее число предприятий с финансовыми нарушениями. Для этого по формуле для заданных значений , и , получаем . Теперь для находим. Из таблиц , поэтому .

в) Требуется найти или, что тоже самое, . Воспользуемся интегральной формулой Муавра – Лапласа. Для и находим , . Из таблиц значений, учитывая нечетность функции Лапласа , находим , так как , то . Тогда .

г) Вероятность можно было найти как в предыдущем пункте с помощью интегральной формулой Муавра – Лапласа. Но, заметим, что интервал симметричен относительно значения , поэтому вычислим вероятность по следствию 1:

Пример: Кандидата в думу города N поддерживают 80% населения. В каких пределах с вероятностью 95% находится число проголосовавших «за» на выборах кандидата, если число избирателей равно 1 500000?

Проводится испытание по выяснению, голосовал ли избиратель за кандидата. Оно повторяется 1500 000 раз ( ). Пусть событие – избиратель голосовал за депутата, , . Требуется определить границы изменения числа «успешных» голосований, чтобы вероятность этого события . Будем искать интервал симметричный относительно произведения , для чего воспользуемся формулой следствия 1, откуда выразим . Так как по условию задачи , откуда по таблице значений функции Лапласа определяем . С другой стороны, . Из соотношения получаем, что . Из неравенства следует , откуда с вероятностью 0,95.

Пример: Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти: а) с вероятностью 0,9545 границы (симметричные относительно вероятности), в которых заключена доля стандартных среди проверенных 900 деталей; б) вероятность того, что доля нестандартных деталей среди них заключена в пределах от 0,08 до 0,11?